幂塔的奥秘

教孩子加法时，2+3，会先伸出两个手指头，然后依次再伸出一个，两个，三个，嘴里说着1，2，3。表示在2后面加上了3，然后数一数总共的手指头数，是5个，所以2+3=5。

这其中包含深意。我们认定加法是数数的下一级运算。数数的本质是+1。因此，+3就是+1做3次。

把数数（+1）作为第0层运算：1，2，3，4....
第一层，加法，就是重复的数数：2+3就是2上面进行3次+1
第二次，乘法，就是重复的相加：2×3就是2+2+2
第三层，幂杨幂的幂，就是重复的乘法：2^3就是2×2×2
一般我们就学到此为止了。但是，还有第四层，叫做幂塔，还是杨幂的幂
幂塔，tetration，就是重复的幂，比如，2的3次幂塔，就是2^2^2。

注意，幂塔的运算，是从右上（小字）计算到左下（大字）。顺序不能错，否则结果会不一样。
对于2^2^2，恰好一样，无论怎么算都是16，这是例外。
但对于2^2^2^2，错误算法会得出256，而正确算法是65536，或者2的16次方。

2的5次幂塔，2^2^2^2^2，就是2^65536，已经是19000多位的一个数，任何计算机都无法直接存储。2的6次幂塔，连位数都不可描述，如果把它写下来，就算每页能写1000个数字，也要用尽宇宙所有原子电子中微子光子，形成一个黑洞
可见幂塔的扩张速度是惊人的。

但幂塔不总是急速夸张的。比如底为1.1的幂塔。
1.1的2次幂塔 = 1.1^1.1 = 1.110534241
3次幂塔 = 1.1^1.110534241 = 1.1116498
...
到第6次幂塔的时候，结果是1.111782011
再往上升，会发现1.1^1.111782011 = 1.111782011，不变。
也就是说，1.1的幂塔是收敛的。

现在我们知道底为1.1的幂塔是收敛的，而2的幂塔是发散的。那么，从收敛到发散有没有一个临界值？如何计算出来？

注：此帖源自微信朋友圈(Howard)。

当幂塔底数小于1时也能收敛，但太小了就不收敛了。
因此，也有一个收敛下限。

用excel简单的计算了一下
底数在比较小的时候(<0.07?)，会收敛成两个值，这个算收敛吗？

上限在1.444附近
列式的话，可以令X^X^X^X...^X=A, 如果A是个收敛值，那么X^A=A
两边取对数，那么AlnX=lnA，X = e ^ (ln(A)/A)，显然X是随ln(A)/A单调变化的
当A=e的时候，ln(A)/A有最大值，这个时候可以求得X最大值=1.444668

另外底数和指数是可以取负数的，当底数是-1的时候是收敛的
不过其他负值估计幂塔在实数范围内不成立
从底数大小上来说，-1是最小值，但估计不符题意

notch 发表于 2020-6-9 19:54
用excel简单的计算了一下
底数在比较小的时候(

1、两个值就不算收敛。
2、负数时只有整数才有意义，不予考虑。

老陈 发表于 2020-6-10 13:18
1、两个值就不算收敛。
2、负数时只有整数才有意义，不予考虑。

下限的A应该是1/e，0.3678，对应的X在0.065988