相遇问题

甲在一条长度为M的直跑道上往返跑步。
乙使用交通工具(自行车，摩托车之类的快速交通工具)，也在这条跑道上往返跑。
假设甲的速度为v，乙的速度u。u>v，二人速度一直不变。
甲乙由起点同时出发。
甲跑了N个来回。
问甲乙出发后相遇多少次？

俺是来打酱油的，搬个板凳，有点晕

甲在一条直跑道上往返跑步。
乙使用交通工具(自行车，摩托车之类的快速交通工具)，也在这条跑道上往返跑。
假设甲的速度为v，乙的速度u。u>v，二人速度一直不变。
甲乙由起点同时出发。
甲跑了N个来回。
问甲乙出发后相遇多少次？

用[X]表示小于等于X的最大整数。
相遇次数T。
起点到终点或终点到起点称为一个单程。
两个连续单程称为一个往返。

乙跑任何一个单程都与甲相遇一次，并且仅相遇一次。

如果在终点相遇，那么到达终点前的单程和离开终点后的单程只有可能在这个终点相遇一次，也就是说在终点相遇时相遇次数会比乙跑的单程数小1。
同理，在起点相遇时相遇次数会比乙跑的单程数小1。

设k=u/v
1:k是无理数
不可能在起点或终点相遇。
T=[2Nk]-1

2:k是有理数，非整数
设k=p/q, p与q互质
2.1:p和q都是奇数
甲每q/2个往返和乙相遇一次，其中q/2的奇数倍在终点相遇，q/2的偶数倍在起点相遇。
T=[2Nk]-[N/(q/2)]-1=[2Nk]-[2N/q]-1
2.2:p和q有一个是偶数
甲乙不可能在终点相遇
甲每q个往返和乙在起点相遇一次。
T=[2Nk]-[N/q]-1

3:k是整数
3.1:k是奇数
甲每次到达起点或终点都和乙相遇。
T=[2Nk]-2N
3.2:k是偶数
甲乙不可能在终点相遇。
甲每次到达起点都和乙相遇。
T=[2Nk]-N

试着用图像来描述一下。类似这种题我想象能力不够，必须借助图像

绿色为缓慢的，跑步的甲 (cos pi*x)
红色为快速的，骑车的乙。(cos k*pi*x)
横坐标为甲的单程数。(2N)

虽然cos不是匀速，但是对于此题目来说无关系，反而会更好展示交点。

Howard 发表于 2020-5-21 00:33
试着用图像来描述一下。类似这种题我想象能力不够，必须借助图像

绿色为缓慢的，跑步的甲 (cos pi*x)

其实只要将cos曲线变成转折的直线就完全是题目描述的情况了