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本帖最后由 dengxianqi 于 2012-10-25 15:45 编辑
概率分布
虽然单一事件的概率很重要，但有很多情况下这还不足以充分对某一情形进行分析。很多时候，同时考虑多种不同的概率会变得很重要。我们可以根据一个事件的各种可能的结果以及各自的概率得到概率分布。
以一个理想硬币为例。抛这枚硬币的可能的结果只有两个，而且每个结果之间互斥且各自的概率均为1/2。我们可以以此形成一个抛硬币的概率分布：把每个结果与其发生概率配在一起，从而形成两个配对：（正面，1/2），（反面，1/2）。
设C为抛硬币结果的概率分布，则我们可以进行如下描述：
C = {(正面, 1⁄2), (反面, 1⁄2)}
同样的，抛一个六面的骰子的结果的概率分布可以描述如下：
D = {(1,1⁄6), (2,1⁄6), (3, 1⁄6), (4, 1⁄6), (5, 1⁄6), (6, 1⁄6)}
对于任何事件，我们都可以穷举所有的互斥结果然后让其与各自的发生概率配对，构造出一个离散的概率分布。
从而，我们可以为同一个事件构造出不同的概率分布。抛骰子的事件我们可以构造出另一个概率分布——奇偶分布：
D’ = {(奇数, 1⁄2), (偶数, 1⁄2)}
打扑克时，我们几乎永远都非常关心我们的对手拿着什么手牌。但是，我们几乎不可能使我们对对手手牌的估计缩减到特定的两张牌。相反，我们使用概率分布来表示对手可能的手牌以及他拿到每副手牌各自的概率。在一局牌开始时，还没人看过自己手牌的时候，每个玩家手牌的概率分布是一样的。然而，随着这手牌的进行，我们可以根据各种从牌局中获得的信息来不断的调整我们对对手每副可能的手牌的概率估计。那些信息包括：各人对这手牌的玩法、我们自己的手牌、桌面发出的牌、以及其他等等。
有时候，我们可以对概率分布的每个元素赋予一个数值。比如，设想一个朋友和你用一个理想硬币玩抛硬币游戏。赢家从输家那获得10元。这个抛硬币游戏的结果遵从我们早先时候识别出来的概率分布：
C = {(正面, 1⁄2), (反面, 1⁄2)}
因为我们知道这个硬币是“理想”的，即均匀的，所以不管谁来压注或压哪一面都无所谓。这样，我们为这个赌识别出了另一个概率分布：
C’ = {(赢, 1⁄2), (输, 1⁄2)}
我们可以进一步，给每个结果赋予一个数值。如果我们赢了，朋友给我们10元。如果我们输了，我们给朋友10元。由此得到下面的式子：
B = {(+$10, 1⁄2), (-$10, 1⁄2)}
当概率分布的每个可能的结果都被赋予了一个数值，我们就能计算出这个分布的“期望值 EV”。计算方法是把每个结果的数值乘上各自结果的发生概率，然后加总。在这本书中，我们将使用符号<X>来表示“X事件的期望值”。在这个案例中，我们有：
<B> = (1⁄2)(+$10)+(1⁄2)(-$10)
<B> = $5 + (-$5)
<B> = 0
这个结果是很显然的——如果我们抛一枚均匀硬币若干次，一半的时候我们会赢，一半的时候我们会输。次数一样，所以总体来说你会打平。同样，如果你的朋友不和你玩这个游戏，其期望值也是零，因为没有钱会被交换。
对于一个概率分布P来说，如果其所有的n个结果中，每个结果都有一个数值x_i以及其相应的概率p_i，那么P的期望值<P>则为：
玩扑克或者其他任何形式的赌博游戏的核心思想是，最大化期望值。在这个例子中，你的朋友给你提供了一个公平的赌博。平均来说，你玩与不玩这个抛硬币游戏，你的期望值没有变化。
现在，假设你朋友向你提供了一个不同的，或者说，更好的交易：同样的抛硬币，但如果你赢了，他付给你11元；如果你输了，你只需付给他10元。同样，不玩的EV是0，但是现在玩这个游戏的EV已经不再是0了。你赢的时候赢11元，输的时候输10元。这个赌给你的期望值是：
<B_n> = (1⁄2)(+$11)+(1⁄2)(-$11)
<B_n> = $0.50
平均来说，每抛一次硬币你将赢50分钱。当然，并不是铁定赢；而且事实上，在任何一次特定的抛硬币中，你不可能赢得50分钱。仅仅是总计来说，这个期望值数字才会存在。然而，这样做的话，平均来说玩一次比不玩会多赚50分钱。
再举一个例子。假设同一个朋友提供给你另一个交易：你抛一对骰子一次，如果抛出两个6点，他付给你30元，然而如果是其他的任何点数，你付给他1元。同样，我们可以计算一下这个交易的期望值。
<B_d> = (+$30)(1⁄36)+(-$1)(35⁄36)
<B_d> = $ 30⁄36- $ 35⁄36
<B_d> = -$ 5⁄36 大概14分钱.
这个交易对你的价值大概是负14分。不玩的EV是0，所以这个交易很烂，你不应该玩。告诉你的朋友还是玩那个11-10的抛硬币游戏吧。值得注意的是，这个“双骰子”的赌戏遍布全世界。
期望值的一个十分重要的属性是其可加性，即，连续赌六次的期望值就是把每个单独的EV加总起来的值。绝大多数赌博游戏——事实上，一生中的绝大多数事情——都与之类似。我们不断的接受各种小的抛硬币交易或抛骰子交易——有的有正的期望值，其他的有负的期望值。有时候问题中的事件不是抛硬币或掷骰子，而是一张保险单或公募基金。拉斯维加斯的免费饮料以及霓虹灯，来自成千上万的抛硬币游戏的加总。而在每个游戏中，赌场都仅拥有一点点的优势。
通过使用概率分布来讨论扑克，我们经常会省略掉一些特定的概率。这么做意味着，那些手牌相应的概率与这手牌开始时相比没有发生变化。假设我们观察到一个非常紧的玩家加注了，并且我们根据经验可知，他仅仅在拿到一对A、一对K、一对Q或A-K的时候才加注。我们可以表示他的手牌分布如下：
H = {AA, KK, QQ, AKs, AKo}
把概率抹掉意味着这些手牌相应的概率与发牌时一样。当我们有多个分布需要考虑时也可以使用<X>符号。假设我们正在讨论一个这样的情形：两个玩家A及B的手牌遵从以下分布：
A = {AA, KK, QQ, JJ, AKo, AKs}
B = {AA,KK,QQ}
于是我们得到以下：
< A, B > : A玩家对上B玩家时的期望值.
< A, AA|B > : A玩家的手牌对上B玩家手牌分布中的AA的期望值.
<AA| A, AA|B > : A玩家手牌分布中的AA对上B玩家手牌分布中的AA的期望值.
< A, B > = p(AA) < A, AA|B > + p(KK) < A, KK|B > + p(QQ) < A,QO| B> 等.
另外，我们可以对一个分布中的元素进行一些基本的算术运算。例如，如果我们把一个分布中的所有结果的数值都乘以一个常量，那么这个新产生的分布的期望值等同于原分布的期望值乘以这个常量。同样的，如果我们把一个分布中的所有结果的数值都加上一个常量，那么这个新产生的分布的期望值也等同于原分布的期望值加上这个常量。
我们还需要花点时间来描述一下一个描述概率的常用方式，胜败比（odds）。胜败比定义为，事件发生的概率与事件不发生的概率之间的比值。胜败比通常可以简化成一些简便的形式，例如“7比5”，“3比2”，等。好的胜败比意味着事件更可能发生，差的胜败比意味着事件更可能不发生。通常，相应的手牌价值可以描述为：这手牌对上那手牌有7比3的领先成败比，也就是这手牌有70%的概率获胜。
比起概率，胜败比通常在数学计算上较为困难点，因为胜败比不能通过进行简单的结果相乘来表示期望值。真正的“赌徒”通常使用胜败比，因为胜败比简明的表达了他们的下注能得到多少倍的赔付。概率更多的是一个数学概念。使用数学工具的赌徒可能两种都会采用，但通常来说更加喜欢概率，因为根据概率能较为容易的计算出期望值。
关键概念
• 一个事件的其中一个结果发生的概率，相当于在对这个事件的大量重复试验下，这个结果发生的总次数与总试验次数的比值
• 概率分布是对一个事件的所有互斥结果配对上各自相应概率的列表
• （这一段我翻译不好，主要后半句没理解……）The expected value of a valued probability distribution is the sum of the probabilities of the outcomes times their probabilities.
• 期望值具有可加性。
• 如果一个概率分布的每个结果都对应了一个数值，这个分布的期望值就是每个输出与其相应概率乘积的加总。
• 玩扑克的数学方式最基本的要求就是要最大化期望值。
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