概率问题请教

shfe 发表于 2012-8-28 06:20
谢谢各位的解答和参与。

我所问的概率问题如能有正确答案，我将说出问此问题的缘由。可能会颠覆某些传统 ...

这个题太没劲了，比原题差远了。建议打回去重发。dfu兄只做有意思的题。

dfu兄，

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)  是“n场分为若干长度为1～4区间”的总分法，是4步（4阶）斐波那契
2×Pn 是n场中两队均不出现5连胜（或巴萨既不出现5连胜也不出现5连败，或者硬币既不出现5连正也不5连反）的组合数
2×Pn/2^n  是概率
所以，两队均不出现5连胜的计算，要用到4阶斐波那契

而指定队N场不出现5连胜的概率是
（5阶斐波那契的第N+2个数）/ 2^N
用的是5阶斐波那契


计算球队连输连赢问题（硬币问题与此相同）：

n场巴萨不出现3连输概率是 F3(n+2)/2^n, 其中F3(n+2)表示3阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现3连输概率是2×F2(n+1)/2^n，其中F2(n+1）表示 2阶斐波那契数列（也就是普通斐波那契数列）的第n+1个数；

n场巴萨不出现4连输概率是 F4(n+2)/2^n, 其中F4(n+2)表示4阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现4连输概率是2×F3(n+1)/2^n，其中F3(n+1）表示 3阶斐波那契数列的第n+1个数；

n场巴萨不出现5连输概率是 F5(n+2)/2^n, 其中F5(n+2)表示5阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现5连输概率是2×F4(n+1)/2^n，其中F4(n+1）表示 4阶斐波那契数列的第n+1个数；

n场巴萨不出现m连输概率是 Fm(n+2)/2^n, 其中Fm(n+2)表示m阶斐波那契数列的第n+2个数；
n场任一队均不出现m连输概率是2×F[m-1](n+1)/2^n，其中F[m-1](n+1）表示 m-1阶斐波那契数列的第n+1个数；

回到墙的问题，238场任意一队不出现5连输：
n=238时，F4（n+1）= F4(239) = 3.84651E+67
2×F4(n+1)/2^n = 2*3.84651E+67 / 4.41712E+71 = 0.0174%

Howard 发表于 2012-8-29 02:40
dfu兄，

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)  是“n场分为若干长度为1～4区间”的总分法，是4步（4阶）斐波那 ...

火花兄，我知道原来的题目是两队均不出现5连胜的计算。
两队不出现5连胜等价于一个队伍不出现5连胜除去5连输（及5连输以上的情况）的情况（是否能简单2P(N)我也不敢轻易认可，当然P(N)的定义完全不同，那么也能理解），甲队伍的5连输意味着乙队伍的5连胜，只需要考虑一个队伍的输赢即可，不需要2个队伍。

我不能赞同的是P(N)的逻辑定义，有两个问题。



1）分成1-4区间，这种构思非常的精巧，但在逻辑上的推演有很多考量的地方。

----------（此处删除前面错误的解读）------

补充：抱歉，前面的描述是我按P(N)为概率时的概念来质疑的。D兄的P(N-1)+P(N-2)+P(N-3)+P(N-4)的确是P(N)所有1-4区间分割的组合总数量。但是，即便如此，还是解释不了我的困惑。（惭愧，我按自己对P(N)的逻辑定义来理解，所以出了前面的笑话。我再仔细看看D兄的推理。）


2) 把P(N)定义成切割成1-4的区间数量，那么2^N也需要有相应的逻辑解释，我相信这个2^N应该指的不是总的输赢组合数量。一般，2^N指的是单一队伍总的输赢所有的排列组合，就是说输和赢在N场比赛总的排列组合数字是2^N，那么P(N)指的应该是不连胜的排列组合数量。当然，你也可以认为“n场分为若干长度为1～4区间”的总分法和这是等价的，但我觉得两者是不等价的，除非2^N并不是我理解的总的排列组合数字。

   其实，定义P(N)是概率也好，或者组合数量也好，计算不连胜M场的概率（一个队伍的不连胜），最终的逻辑通式应该都是斐波那契。事实上，如定义P(N)为不连胜的组合数量，变换出标准的斐波那契表达式需要繁琐的步骤，这也是我觉得1-4区间分割法有疑问的地方。


    以上是我的困惑，找个时间，我把P(N)按不连赢M把组合的定义下的通项式推导一次。可以确定的是通项式一定和P(N-1)---P(N-5)都相关。
   
   

补充点，关于2个队伍都不出现5连胜概率的计算：

甲乙队伍都不出现5连胜的概率= 甲队伍不出现5连胜或以上的概率并且甲队伍不出现5连输或以上的概率，

@@-----------------------------------------
----------------------------------------- 说明：@@---@@之间是思考的过程，结论（P*P）是错的，非常低级的错误，看了会糊涂，这段可略去不看。

令甲队伍不出现5连胜的概率等于P，由于每一场输赢的可能都是50%，那么甲队伍不出现5连输或以上的概率也等于P，

那么 甲乙队伍都不出现5连胜的概率 = P*P.  
P是指单一队伍不出现5连胜的概率。（这种情况包括了5连输甚至10连输及所有符合条件的可能。）

不知道我的这个理解有没有问题，在线写的很匆忙，没仔细想。


靠，前面这个结论是错的，两个事件并不独立，你中有我，我中有你。甲乙队伍都不出现5连胜的概率不能简单等于P*P。

惭愧，想多了就是容易错。还是严格按逻辑一步步推理的好。

这贴我犯了非常明显的低级的错误： 甲乙队伍都不出现5连胜的概率= “甲队伍不出现5连胜或以上的概率并且甲队伍不出现5连输或以上的概率”这个定义很容易误导，主要是“甲队伍不出现5连输或以上的概率”包括了甲队伍5连赢及以上的概率。
------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------@@

现在脑子有点浆糊，再犯点错，

甲乙队伍都不出现5连胜的概率=1-“甲队伍5连胜或以上的概率”-“甲队伍5连输或以上的概率”=1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，

即：甲乙队伍都不出现5连胜的概率= 1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，

根据火花的公式：“甲队伍不5连胜或以上的概率“ = F5(n+2)/2^n，那么“甲队伍5连胜或以上的概率”=1-F5(n+2)/2^n，

那么 甲乙队伍都不出现5连胜的概率 = 1-2*（1-F5(n+2)/2^n）=2*F5(n+2)/2^n-1 。

这个公式是否等价 甲乙队伍都不出现5连胜的概率=2×F4(n+1)/2^n ？

即 F5(N+2)-F4(N+1)=2^(N-1) 是否成立？

当N=5时，F5(N+2)=31，F4(N+1)=15， 2^(5-1)= 16.

当 N=6 时，F5(N+2)=61，F4(N+1)=29， 2^(6-1)=32。

昏倒，两者居然是等价的，道歉，惭愧。

非常的惭愧，

令 “Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)  ，P(N)定义为n场分为若干长度为1～4区间的总分法”，这个思路非常的精巧，分为1-4的区间后，对每个区间着色，甲连胜为红色，乙连胜为蓝色，每个区间必须是红蓝相隔的，不能出现红红或者蓝蓝的情况，原贴DA兄用奇偶来表示。

解释下为什么不能出现红红的情况，比如1连胜后面是2连胜，实际上就是3连胜，这个3连胜应该独立分为一个区间，除非后面出现一个输，那么另一个区间开始，而4连胜后如果接着又有1-4连胜，那么久不满足条件了。就是说连胜和连败必须是相隔的。

先是把整个N场比赛划分出1-4的区间，然后按题目的逻辑要求对每个区间着色，红代表甲赢，蓝代表乙赢（即甲输），两相隔区间的颜色一定是不同的。

实际上着色后的1-4的区间组合数量代表一方连胜1-4局或者连败1-4局（即对方连胜1-4局）的所有排列组合，如果把连胜着红色，连败着蓝色，那么整个N场比赛看上去一定是红蓝相间的一个图案。每一种可能的区间都有红开始和蓝开始2种情况，那么总的排列组合就是2P(N)。 2P(N)代表的就是所有一方
连胜1-4局或者连败1-4局（即对方连胜1-4局，也就是双方都没有5连胜的情况）的所有排列组合。

非常精巧的构思，火花和DA兄都得到其中的奥妙，前面我还困惑了许久，主要是从自己的角度去理解，我的推导也是严格按逻辑推导，很繁琐，以为都是按类似的逻辑做的，犯了先入为主的错误，惭愧，佩服。

我要是当老师就完蛋了，这么漂亮的解答，没看明白，一怒之下，给个0分，抹杀啊。不知道历史上有多少这么被抹杀的奇才。

刚用了原来用来解决“硬币抛掷5连上及以上”的逻辑，发现令P(N)为组合数量比令P(N)为概率的处理要简洁，现将此逻辑用来处理“硬币抛掷不出现5连上”的问题也非常的简洁。

问题： 硬币抛掷N次，求不出现连续5次向上的概率。

将该P(N)个组合（或概率）分解为以下5种情况，硬币向上为A，向下为B,注意只有AAAAA+XXX的情形没有被分解，因为只有这种情况不满足问题的要求：

B + (N-1)个数的排列，         如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-1)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/2*P(N-1)
A B  + (N-2)个数的排列，       如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-2)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/4*P(N-2)
A A B  + (N-3)个数的排列，     如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-3)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/8*P(N-3)
A A A B + (N-4) 个数的排列，   如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-4)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/16*P(N-4)
A A A A B + (N-5)个数的排列，  如果P(N)为组合数量，那么这种情况有P(N-5)个组合，如果P(N)是概率，这里的概率就是1/32*P(N-5)

当P(N)定义为组合数量的时候： P(N)=P(N-1)+P(N-2)+P(N-3)+P(N-4)+P(N-5), 由于整个组合数量是2^N,

因此不连续5次向上的概率 = (P(N-1)+P(N-2)+P(N-3)+P(N-4)+P(N-5)) / 2^N

当P(N)定义为概率的时候,P(N)就是不连续5次向上的概率： P(N)=1/2*P(N-1)+1/4*P(N-2)+1/8*P(N-3)+1/16*P(N-4)+1/32*P(N-5)
当处理5连赢时，也是这个逻辑，就是多了个1/32。

这个解法整理后写出来，突然发现也非常的简洁。我做的时候感觉繁琐，并且用了2种方法（分别是分解前面和分解后面），主要是怕出错，花了不少时间校验（因为P(N)的定义不同，解出来后发现和火花的结果似乎不一致，从上面的解题逻辑看，其实完全一致）。

接楼主的问题：
1局中有2次5连正(连续10次正面算2次)的概率是多少？

为计算方便，采用组合定义法。

p(N)定义为N次抛掷，至少一次5次连续向上或以上的组合数量，总数量是2^N。

我的答案是： F(N)=( P(n-5)+p(n-6)+p(n-7)+p(n-8)+p(n-9)+p(n-10) )/ 2^N.

注意我这里P(5)=1，P(6)=3, P(7)=8，P(8)=20，P(9)=48，P(10)=112，这里P(N)的定义还是用的至少一次5连上的组合数量，借用前面的结果推出。



F(10)=1/2^10，F(11)=4/2^11=1/2^9 ，F(12)=12/2^12=3/2^10.
从上面的数字可算出：

F(15)=(1+3+8+20+48+112)/2^15=192/2^15=0.58%

F(20) = 应该是(P(15)+P(14)+P(13)+P(12)+P(11)+P(10)) (刚才搞错F15和F20)

F(64)= ( P(59)+P(58)+P(57)+P(56)+P(55)+P(54) ) /2^64，计算P(59)有个小技巧，P(59)=2^59-PP(59),PP(59)对应的是火花斐波那契 5阶第59序号的值。

火花的PP(59)=221333601789363969（手工计算，无比繁琐辛苦。）

F(64)=(2^59+2^58+2^57+2^56+2^55+2^54-2PP(59))/2^64=（2^5+2^4+2^3+2^2+2+1）/2^10-PP(59)/2^63

F(64)=63/1024-PP(59)/2^63=0.0375=3.75%

出现2次5连胜的情况是3.75%。

之所以算这个，发现还有点参考意义，比如老墙那贴说的连续7天输为一个下风期，2个月发生一次。假如每天胜率是5:5的话，60天发生一个下风期的概率是多大？360天发生2个，或3个，或4个下风期各是多大？ 如果把胜率调整为53:47的话，结果如何变化。

如果胜率调整后，至少用概率定义P(N)可以解决这个问题。用组合数量定义法可能就不知道了，用概率定义的逻辑推理应用范畴似乎更广些。

花了很长时间做算术，主要是算斐波那契值，校验也花时间，怕搞错，也没仔细校验。

结果没校验，公式我觉得是不会错的，注意P(N)是连续5次向上的组合数量。

shfe 发表于 2012-8-27 13:02
谢谢火花的解答。

第2题我计算了一下：
和你第1题的算法差不多：
F(64)=64.77%

第1个5连出现位置平均值应该是在第32次和第33次这间，那么计算第2个5连的概率就应该则中取
(F(33)+F(32))/2
（这里有可能产生一点误差，但不会太大）
F(33)=39.99%
F(32)=38.91%

一局出现2次5连的概率为:
F(64)*(F(33)+F(32))/2=25.54%
估计这个答案要比用公式直接推导出来的答案小一点点，原因是我取(F(32)+F(33))/2做为F(32.5)的近似值。F(32.5)是无法计算的，只好如此。

关于dfu 14楼的一段话：

现在脑子有点浆糊，再犯点错，
甲乙队伍都不出现5连胜的概率=1-“甲队伍5连胜或以上的概率”-“甲队伍5连输或以上的概率”=1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，
即：甲乙队伍都不出现5连胜的概率= 1-2*“甲队伍5连胜或以上的概率”，
根据火花的公式：“甲队伍不5连胜或以上的概率“ = F5(n+2)/2^n，那么“甲队伍5连胜或以上的概率”=1-F5(n+2)/2^n，
那么 甲乙队伍都不出现5连胜的概率 = 1-2*（1-F5(n+2)/2^n）=2*F5(n+2)/2^n-1 。

这个公式是否等价 甲乙队伍都不出现5连胜的概率=2×F4(n+1)/2^n ？
即 F5(N+2)-F4(N+1)=2^(N-1) 是否成立？
当N=5时，F5(N+2)=31，F4(N+1)=15， 2^(5-1)= 16.
当 N=6 时，F5(N+2)=61，F4(N+1)=29， 2^(6-1)=32。

昏倒，两者居然是等价的，道歉，惭愧。


这段话很神奇。因为我初看之下觉得不对，但是dfu演算N=5和N=6，居然真的相等，我也很纳闷。后来算了其他的N，才发现N继续增大就不相等了。不等价。

甲乙队伍都不出现5连胜的概率=1-“甲队伍5连胜或以上的概率”-“甲队伍5连输或以上的概率”
这句话我就觉得不对。因为"“甲队伍5连胜或以上" 和 “甲队伍5连输或以上“ 不是互斥事件，所以直接减去两者是不行的。
（插一句：同时他们也不是独立事件，所以也不能靠相乘 得出 ”甲队伍同时出现5连胜和5连输“）

但如果承认这个错误假设，后面dfu的推理我检验了没问题，就真的变成F5(N+2)-F4(N+1)=2^(N-1)是否成立。N=5和N=6居然真的成立。

我一怒之下，演算了若干个N

N     F5(N+2)  F4(N+1)  F5(N+2)-F4(N+1)  2^(N-1)

2        4        2        2        2
3        8        4        4        4
4        16        8        8        8
5        31        15        16        16
6        61        29        32        32
7        120        56        64        64
8        236        108        128        128
9        464        208        256        256
10        912        401        511        512
11        1793        773        1020        1024
12        3525        1490        2035        2048
13        6930        2872        4058        4096
14        13624        5536        8088        8192

可见从N=2到N=9，二者都相等。直到N=10才出现511和512的差距。当然，后边是越差越大了。

现在dfu已经展现出强大的实力，想抓住他一个小疏忽越来越难，偶尔抓到了我忍不住赶快在他自己发现以前贴出来显摆显摆，哈哈

shfe 发表于 2012-8-28 06:20
谢谢各位的解答和参与。

我所问的概率问题如能有正确答案，我将说出问此问题的缘由。可能会颠覆某些传统 ...

摸不到红球的概率为：
0.9999^10000=36.79%