概率问题请教

掷硬币游戏，掷64次为1局，请问：

1：1局中有5连正(连续5次为正面)的概率是多少？
2：1局中有2次5连正(连续10次正面算2次)的概率是多少？
3：连续8局都有5连正的概率是多少？
4：连续8局没有5连正的概率是多少？

麻烦会算的花费点时间帮我算算，非常感谢。

你这个题看似简单，其实很难。好在以前老墙出的一道题中，大家曾讨论过类似的问题。那个帖子叫做“一道纯概率题”，我在那贴的36楼给出了公式：http://zhiyoucheng.pushi8.com/fo ... 411&fromuid=636

根据该公式，连续64次投掷不出现5连正的计算方法是：5步Fibonacci数列的第66个数，除以2的64次方
5步Fibonacci数列的第66个数 = 6.49992E+18
2 ^ 64 = 1.84467E+19

所以，64次无五连正 6.49992E+18 /  1.84467E+19 = 35.23%

1. 第一问是64次出现5连正，那就是1 - 35.23% = 64.77%

有了这个结果，第三问和第四问都是显然的了
3. 连续8局都有5连正的概率：64.77%^8 = 3.097%
4：连续8局没有5连正的概率: 35.23%^8 = 0.0237%

第二问，64次投掷出现2次五连正，是比较麻烦的。根据我现有知识，我预计至少需要4个小时才能找到解法。没时间算了，等着看高人的吧

Howard 发表于 2012-8-27 22:51
你这个题看似简单，其实很难。好在以前老墙出的一道题中，大家曾讨论过类似的问题。那个帖子叫做“一道纯概 ...

谢谢火花的解答。

这个用来做什么的？聪明的人知道赌场有类似的活动

我的通项式和火花兄的不一样，检查了好几次，还把通项式的结果和实际结果对照了一下，好像也没看出什么问题。

不知道有没有什么问题。我的解题逻辑和思路如下，不详细写了，主要是验证下结果：

令：N为抛掷硬币的次数，P（N,M）为抛掷N次连续M次硬币向上的几率。

1） 当M=5时，则简写P(N）为抛掷N次连续5次硬币向上的几率。

我的通项式：  P(N)=1/2*P(N-1)+1/4*P(N-2)+1/8*P(N-3)+1/16*P(N-4)+1/32*P(N-5)+1/32  。

这个通项式用了两种方式推导，都是这结果，不知道哪里出问题了，写出来太长，不写了。

实际结果，P(5)=1/32, P(6)= 3/64,  P(7)=8/128， P(8)=20/256.

实际结果是我直接用AAAAA,BAAAA等数出来的，A代表硬币向上，B向下。

这个结果和公式计算的结果完全符合，公式的推导基于逻辑推导，推导过程没有借助实际结果的帮助。

P(9)根据上面的公式计算是：32/2^9，P(10)到P(64)可依次推出结果，。。。。

从裴波那契数列的值计算，似乎和我的结果又不一样，搞不懂了。不知道哪里出问题了，我再查查。火花兄能否将N=5---15的概率结果列出，我对照下。后面我再将实际结果用图演示并计算。


2）当M=2时，则简写P(N）为抛掷N次连续2次硬币向上的几率。

P(N)=1/2*P(N-1)+1/4*P(N-2)+1/4，这个和火花的公式似乎也不一样。


补充：对照火花的表，发现P(9)不一致，忘了加1/32，加上这个就是：48/2^9.  和火花的完全一致。

cyylce 发表于 2012-8-28 17:05
这个用来做什么的？聪明的人知道赌场有类似的活动

谢谢各位的解答和参与。

我所问的概率问题如能有正确答案，我将说出问此问题的缘由。可能会颠覆某些传统的观点。我想从科学的角度来看看一些几乎不可能发生的事件为什么会发生。

再请问一个相关的概率问题：
摸球游戏：容器中有1个红球和9999个白球，每次摸一个，然后放回去重新摸。
问：连续摸10000次，没有摸到红球的概率。

实际结果的图示：

令A表示硬币向上，B表示硬币向下。

1）当N=5时，
仅当： A A A A A 时，满足条件，P(5)=(1/2)^5

2)  当N=6时，

仅当： A A A A A A
           A A A A A B
           B A A A A A

条件成立，P(6) = 3*(1/2)^6


2)  当N=7 时，

仅当： A A A A A A A
           A A A A A A B
           A A A A A B A
           A A A A A B B
           
           B A A A A A B
           B A A A A A A
           B B A A A A A
           A B A A A A A           
           

条件成立，P(7) = 8*(1/2)^7

2)  当N=8 时，

仅当： A A A A A A A A
           A A A A A A A B
           A A A A A A B A
           A A A A A A B B
           A A A A A B A A
           A A A A A B A B
           A A A A A B B A
           A A A A A B B B
           
           B A A A A A B A
           B A A A A A A A
           B B A A A A A A
           A B A A A A A A  
           B A A A A A B B
           B A A A A A A B
           B B A A A A A B
           A B A A A A A B

           A B B A A A A A  
           B A B A A A A A
           A A B A A A A A
           B B B A A A A A        
           
条件成立，P(8) = 20*(1/2)^8

回dfu，

沿用你“P（N,M）为抛掷N次连续M次硬币向上的几率” 的说法，则有如下表格（M=5）：

N    Fib5(N+2)   2^N     1-P(N,M)   P(N,M)

-5        0
-4        0
-3        0
-2        0
-1        1
0        1               
1        2        2        1        0
2        4        4        1        0
3        8        8        1        0
4        16        16        1        0
5        31        32        0.96875        0.03125
6        61        64        0.953125        0.046875
7        120        128        0.9375        0.0625
8        236        256        0.921875        0.078125
9        464        512        0.90625        0.09375
10        912        1024        0.890625        0.109375
11        1793        2048        0.875488281        0.124511719
12        3525        4096        0.860595703        0.139404297
13        6930        8192        0.845947266        0.154052734
14        13624        16384        0.831542969        0.168457031
15        26784        32768        0.817382813        0.182617188

其中P(5)=1/32, P(6)= 3/64,  P(7)=8/128， P(8)=20/256 与德芙的通项公式计算结果完全一致。我相信德芙的公式是正确的。

dfu你实在是很厉害，这个公式总结的其实就是5步Fibonacci的变体。
注意两点：
1）我的2楼公式是N次中不出现M连正
2）你的公式正好是计算我的反面，也即 N次中至少出现一次M连正

Howard 发表于 2012-8-28 20:48
回dfu，

沿用你“P（N,M）为抛掷N次连续M次硬币向上的几率” 的说法，则有如下表格（M=5）：

没错，我算的是至少一次5连正。

殊途同归啊。

才发现，前面贴又算错一处，按火花的表，P(9)结果应该是48/2^9，原文我写的是32/2^9。

用公式 P(9)=1/2*P(8)+1/4*P(7)+1/8*P(6)+1/16*P(5)+1/32*P(4)+1/32,  P(4)不存在做0处理。

原贴计算时漏加1/32，加上后刚好是48/2^9。

完全一致。  

补充点：

刚看了老墙那贴，贴里的解法比我的干净简洁，尤其是：

把整个赛果切割成1-4的部分，得出

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)，这里P的含义不是概率，对单一队伍是不连续赢5的所有组合数，任意输赢的组合总数是2^N。

非常的精彩。



而我的公式，逻辑推导非常的繁琐，理解上会更轻松，没那么抽象，但确实没有斐波那契这种解法来的漂亮。

再补充:

Pn=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4) 这个公式似乎不是5阶的，如果先只考虑一个队伍的不连续赢5，要把5连输的组合也考虑进去，那么整个逻辑要重新计算，那么1-4的组合切片逻辑就值得商榷。

不管怎么说，思路很新颖，逻辑上似乎有值得商榷的地方，还要仔细思考下。就本题而言，一枚硬币连续5次向上的几率，这种解法似乎不合适。

为什么说逻辑上有值得商榷的地方，因为分母2^N代表所有输赢组合数量，而贴里da兄把分子P(N)作为“Pn为n个单位能够分成若干部分（每部分长度1-4）的所有可能分法数”，这样分子和分母的逻辑含义不同了，出来的结果自然代表不了概率。
如果P(n)表示的是不连续赢5把的组合数量，我可以确定DA兄的逻辑是不成立的，即便最后的结果确实是斐波那契，但推导出这个结果的过程会有点繁琐，和我用概率法推导“硬币连续5次向上”的逻辑类似。

所以，似乎还是按传统的逻辑一步步来好一些。如果一步步分解，分解的过程有点繁琐，估计我能把不连赢5把的公式也表达成斐波那契的形式。

我的P(N)指的是概率，按传统的概率逻辑做的推导。这里的P(N)从公式看应该指的是满足条件即“不连赢5把”的组合数量，总的组合数量是2^N，那么概率结果就是P(n)/2^N,从这个角度入手，应该可以推出斐波那契。