扑克的本质笔记（1-15）

看到老插的这番话，就感觉老插像我天朝的太祖，忒有领袖魅力喔！

看见 Howard 的帖子, 感觉就像八九点钟的太阳。未来是属于你这样奋发青年的 ：）

看到老插的这番话，就感觉老插像我天朝的太祖，忒有领袖魅力喔！

[quote]看见 Howard 的帖子, 感觉就像八九点钟的太阳。未来是属于你这样奋发青年的 ：）

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这是表扬呢还是讽刺呢？

那看来是，我是没有把话说好，老插可以说从抱朴村起，就是华人牌手，或在美的华人牌手的领袖级人物。只是这一年，渐渐淡出， 可没有他，我还不知holdem为何物呢。
不过我看老插的评论，于我心有戚戚焉，也很想赞美赞美一下Howard。我曾跟老插提过，Howard这么有钻研精神，以后打牌一定有大成绩的。
明年可能的话，跟老插一起去玩玩WSOP,

[quote="wusong2":3t54vvl6]看到老插的这番话，就感觉老插像我天朝的太祖，忒有领袖魅力喔！

[quote="插一腿":3t54vvl6]看见 Howard 的帖子, 感觉就像八九点钟的太阳。未来是属于你这样奋发青年的 ：）

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这是表扬呢还是讽刺呢？[/quote:3t54vvl6]

那看来是，我是没有把话说好，老插可以说从抱朴村起，就是华人牌手，或在美的华人牌手的领袖级人物。只是这一年，渐渐淡出， 可没有他，我还不知holdem为何物呢。
不过我看老插的评论，于我心有戚戚焉，也很想赞美赞美一下Howard。我曾跟老插提过，Howard这么有钻研精神，以后打牌一定有大成绩的。
明年可能的话，跟老插一起去玩玩WSOP,


[quote="whofish":2lff7e24]

[quote="插一腿":2lff7e24]看见 Howard 的帖子, 感觉就像八九点钟的太阳。未来是属于你这样奋发青年的 ：）

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谢谢老插，谢谢wusong兄。明年wsop，我也要尽我所能去打一下，争取能见到老邱/老朱前辈，还有其他朋友们。我看了ESPN给WSOP做的片子，尤其是November 9牛逼闪闪阔步走进大厅的时候，800多万被美女哗啦啦倒在桌子上的时候，我不由的也心潮澎湃，心率上升1.7倍+

但是回头想一想，这种激动和兴奋实在是扑克大忌。墙写过一篇“没有那天要志在必得”。WsOP也不过是“another day of poker”而已。只不过是投资1500-10000，毛回报率10%左右的又一次投资实验而已。不过这个投资的variation非常之大，大到客观来讲我还有一定承受困难的程度。

越是志在必得，就越容易向必然自我毁灭的赌徒单行道迈进；越是看淡输赢，就越容易包容任何可能出现的结果。

前面写扑克模型的时候留了个话把子，说是以后还要介绍更多的前人的成果。但是一直懒到现在也没有续上。合格扑士的纪律性应该是最强的，像我这样懒散的，即使不断赢钱，也时刻孕育着阴沟翻船的巨大危险。

说到纪律。纪律和冲动对于扑克真是个奇怪的东西。大多数人迷上扑克，是因为刚刚接触到扑克的时候，那种把所有钱押出去，自己却只有5 high，眼整整看着对方扔牌的心潮澎湃；或者拿一个3rd pair去跟人家一个河底巨注的心跳加速；或者手持AA，眼看对手不断raise的窃喜。总之，我们迷上扑克，是因为扑克（或者是任何赌博）带给我们的肾上腺激素加速分泌的感觉。对这个感觉的迷恋，其实跟吸毒没什么区别。

但是扑克还是跟吸毒不同。吸毒者没人能克服那巨大的诱惑，无一例外的走向死亡。在扑克里面却有人能从这种诱惑中挣扎出来，把主要精力放到研究到底技术/心理/bankroll/Odds/Tell，甚至走向职业扑士的道路。真是讽刺！肾上腺激素让我们开始了打扑克，但是为了打好扑克，却要用强大的纪律性克服肾上腺激素的影响。

不多扯了。今天说一下von Neumann的扑克模型。提起这位冯.诺依曼来，大概都听说过。这位老兄堪称20世纪最全面的科学家。被别人称为“时尚最后一位伟大的数学家”，言下之意，诺依曼以后，只有优秀的数学家，再也没有伟大的数学家了。不说别的，光称得上之父的，就有两个当之无愧：计算机之父，博弈论之父。称得上重要奠基人的，还有我能听懂名字的集合论/量子力学/流体力学/拓扑，以及我听不懂名字的实变函数论、测度论、连续群、格论。他还是第一颗原子弹的重要设计师之一。

扑克模型就是冯.诺依曼研究对策论的时候设计的一个小玩意儿。跟我1-7介绍的模型非常类似，也是两个人甲和乙对赌，每人先投入1块钱进底锅，初始底锅为2. 然后每人发一张牌，不同于前面我们说的KQJ，他们的牌是在(0,1)这个开区间任意取的一个随机数，比方说0.251，0.169004等等。由于区间是连续的，他们两人的牌相等的概率为0。然后甲先决定，他如果check，乙就没有选择了只好比较大小，这一点跟我们模型也不一样。如果甲bet，他可以bet的大小是可变的，比方说他下注大小为B块钱。此时乙可以选择call或者fold。没有raise。

具体怎么分析的过程我就不罗嗦了，反正城里面也没人爱看那些算来算去的东西。直接上结果。对于甲来说，他如果B确定的话，有且仅有一个优化策略，这个策略中有两个数a和b。如果他的牌小于a，或者大于b，他就下注，在a和b之间，他就check。乙也只有一个可接受的优化策略：他的牌大于c，就跟；小于c就缴枪。abc都是怎么定出来的呢？公式我拷图。



如果甲的下注是pot-size bet，也就是2块钱，可以由上图算出来，a=1/9, b=7/9, c=5/9。什么意思呢？也就是甲的优化策略是当牌烂到比1/9还小就bluff，或者好到比7/9还大就value bet，任何中间的牌都check；乙的优化策略是当牌好过5/9的时候就要跟。

如果甲下注小一点，比方说下注1块钱，只有pot的一半。这时候他应该bluff和value bet那些牌呢？计算表明，他的范围是a=1/10, b=7/10, 而乙的跟牌范围是c=4/10。可见甲如果下小注，应该少bluff，多value bet，而乙则应该多call。

如果甲下注大一点，比方说下4块钱，pot的2倍。算出来是a=1/10，b=0.85，c=0.7。a的值和甲下注1/2 pot时一样，但是valuebet则需要提高到0.85以上的好牌；乙也只有0.7以上的好牌才跟。

下图列出了随着甲下注的变化，双方abc的变化过程：



可见，b和c均随下注增加而单调增加，也就是说，下注越大，甲的valuebet门槛越高，乙的跟注门槛也越高。但是，甲bluff的门槛a值是先上升，到potsize bet的时候到最高点1/9，之后又逐渐下降。这说明在river上，一个potsize bet应该是我们bluff最多的时候，太小的注和太大的注都应该减小bluff的频率。

我平时也想过类似的问题，river上我知道对方有一定实力的牌，但绝不是nuts。我的牌是很差的牌，没有任何可能赢下showdown。我如果bluff，下注多少为好呢？下的小了对手跟注可能性大，但我偷鸡不成时损失小；下的大了对方跟注可能性小，但我偷鸡不成损失大。是不是下注越大越好，还是越小越好呢？这个图给出了解释：应该是不大不小，越靠近potsize越好。

当然这是考虑对对手无特殊read，且假设他不会raise，以及其他限制条件。但这个发现至少给了我们启发：扑克的确是一个讲究“平衡”的游戏。

支持楼主继续更新！

上一节中提到的冯诺依曼的扑克模型，虽然对现实的扑克做了模拟，但是跟真正的NL Holdem还是有很大距离。Chris Ferguson跟他老爸Tom Ferguson前几年对老冯的模型进行了扩展，使之更加接近真实NL扑克。很多人都知道Chris耶稣Ferguson是UCLA计算机专业博士毕业。龙生龙凤生凤，他老爸老妈全都是数学博士。Tom Ferguson乃是UCLA数学系教授，专门研究跟博弈论相关的东东。

Ferguson父子的扩展分三部分，第一部分允许玩家乙在玩家甲check之后bet；第二部分允许乙在甲bet之后raise；第三部分允许任意一人发起第一次bet，然后另一人可以raise一次。可见这三部分是逐渐深入的过程。第三部分允许甲check-raise，这跟现实的扑克已经非常接近了。

再好的数学模型也不会引用read和tell等等因素，所以模型的目的在于发现optimal也就是优化的打牌策略。再次提醒读者优化策略并不是利益最大化的策略，而仅仅是无论面对任何对手都能最小化损失的策略。寻找优化策略的意义在于，只有知道了优化策略才能判断对手是否偏离优化策略，是在哪个方向上偏离优化策略，然后才能对症下药。

本节关注第一次扩展的模型，也就是允许玩家乙在玩家甲check之后bet，但是仅此而已。乙不能raise，甲不能check-raise。甲的牌叫做x，乙的牌叫做y。甲有三个选择：它可以bet，check-fold，或是check-call。Ferguson父子研究表明，甲还是能找到一个优化的策略组合。他把他所有的牌（0，1）分为四部分，最小的牌，(0,a)，他bet进行bluff；稍微好一点的牌（a，b），他check-fold；再好一点的牌（b，c），他check-call；最强的牌（c，1），他bet。而且0<a<b<c<1。

再看看玩家乙。如果甲bet，乙有两个选择call或者fold。研究表明这时乙可以找到一个值d，他的牌在（0，d）的时候就fold，在（d，1）的时候就call。如果甲check呢，乙也有两个选择，check或者bet。注意这时乙的bet既可以是value bet也可以是bluff，所以我们有两个值e和f，当乙的牌在（0，e）的时候就bluff bet，（e，f）的时候就check，（f，1）的时候就value bet。这里的0<e<f<1

可以看到对甲和乙所有的策略来说，只用六个数字就可以完全表述，甲是abc，乙是def。把这六个数字找出来就能完全确定甲和乙的策略。

甲乙的策略如下图所示：


经过一系列的计算。。。。。。计算过程就按下不表了。结果表明abcdef可以用B表示,是关于B的函数。如果特殊情况，B=2，也就是限定这个bet是pot size bet，那么a=1/12，b=1/2，c=5/6，d=1/2，e=1/6，f=2/3。

解释一下这些数字：甲bet他1/4的牌而check剩余的3/4；当他bet的时候有1/3是在bluff；当甲bet的时候乙call一半fold一半；当甲check的时候乙check一半bet一半。

呵呵,花了两天时间,仔细翻了此贴,受教了,非常感谢楼主!!!

好文，拜读，继续学习！

呵呵，学习ing。