德州和奥马哈中河牌第二坚果结实度

兑现诺言，发帖总结。今天用了1个小时总结的。

【目标】衡量真空环境中德州扑克和第二坚果的结实度。所谓真空环境，是指单一对手、不考虑一手牌发展过程、假定对手纯随机牌的情况。结实度用被击败的概率来衡量。所以结实度的唯一标准就是看对手有真正坚果的概率

【计算方法】列出对方所有河牌可能组合数：德州扑克为45 choose 2 = 990，奥马哈为43 choose 4=123410。再根据坚果的不同性质，分情况列出对方第一坚果的所有组合数，其比例即为对手坚果概率，也就是我们的第二坚果结实度。

【结果列表】（适合用大点的屏幕看，手机上可能会显得排版比较乱）


                                                      NLH （990种组合：45 choose 2）                   Omaha（123410种组合：43 choose 4）
                                            计算公式                        组合数    概率                    计算公式                        组合数     概率
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两张牌均需特定牌。               2 choose 2                         1         0.10%             (2 ch 2) (41 ch 2)              820      0.66%
举例：
44 在 98744；
88 在87752 （自己有87）；
3h2h 在KQ5h4hAh；
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3花面的坚果同花。                 1*7                                 7          0.71%            (1 ch 1)*[(42 ch 3)-(35 ch 3)]  4935   4.0%   
特点：一张需要特定牌，
       另一张只需指定花色
举例：
Ah9h在Q8732 三红（自己有Kh4h）
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普通坚果顺子。                     3*4                                 12         1.2%             (43 ch 4) - (39 ch 4)                 8674   7.0%   
特点：两张均只需指定点数                                                                              - (40 ch 4) + (36 ch 4)
第二坚果会吃掉一张坚果牌
举例：
98在76532无花（自己有84）
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A23面坚果顺子。                     4*4                                16         1.6%             (43 ch 4) - (39 ch 4)               11268   9.1%   
特点：两张均只需指定点数                                                                              - (39 ch 4) + (35 ch 4)
第二坚果不会吃掉坚果牌
举例：
54在8732A无花（自己有AA）
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单张坚果花                            1×(44 ch 1)                      44          4.4%            (1 ch 1)*[(42 ch 3)-(35 ch 3)]    4340   3.5%   
特点：一张特定牌，另一张任意                                                                        
Omaha中另一张仍需花
举例：
AhX在Q8732 四红（自己有KhX）
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单张顺子                               (45 ch 2) - (41 ch 2)          170        17.2%            (43 ch 4) - (39 ch 4)               25674   20.8%
特点：一张仅需点数，另一张任意                                                                       - (32 ch 4) + (28 ch 4)
Omaha中另一张仍有限定
举例：
AX在KQJT2 无花（自己有9X）
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一共六种情况。如果你发现了有其他情况，请提醒我，我添入进去。

这些结果，可以总结成两条
1）前四种情况，Holdem需要用两张牌作坚果，这时Omaha的坚果出现率是Holdem的6倍左右 （4种情况依次是6.58、5.66、5.80、5.65倍）。
2）后两种情况，Holdem仅需一张牌作坚果，这时Omaha的坚果出现率与Holdem大致相同（分别是0.79和1.21倍）。

用更短的话总结，就是：两牌坚果差6倍，单牌坚果差不多。

请老墙记忆上面一句话，另请德芙、老陈、notch、dengxianqi 排名不分先后 挂一漏万 检查我计算中可能的错误。我觉得单张顺子Omaha可能会出毛病，其他还是比较自信。


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补充1：谢谢3楼mooch兄慧眼指正！关于单张顺子Omaha的错误已在原文修改。原文误为 (43 ch 4) - (39 ch 4) - (34 ch 4) + (30 ch 4) ，17.2%

Errrr  u even thought of mobile reading issue then I can only say good post while leave it to the office pc
Good job Howard

单张顺子的情况，老霍好像是指公共牌面4连张的情况

德州我算的一样，奥马哈有点差别

按老霍举的例子，牌面是 KQJTx，第二坚果是9(k,q,j,t中的一张)xx，第一坚果是A(k,q,j,t中的一张)xx
计算的时候不算第二坚果中的xx含AKQJT

则计算如下

(43 ch 4，总数) - (39 ch 4，不含A)  - (32 ch 4，不含TJQK) + (28 ch 4，不含TJQKA)   25674  20.8%

mooch 发表于 2012-7-26 09:04
单张顺子的情况，老霍好像是指公共牌面4连张的情况

德州我算的一样，奥马哈有点差别

太感谢了，我算的时候就觉得这块可能要出问题，真的是算错了，谢谢纠正！非常佩服眼力劲。

为阅读方便起见，我直接在原帖修改了。

Howard 发表于 2012-7-26 09:57
太感谢了，我算的时候就觉得这块可能要出问题，真的是算错了，谢谢纠正！非常佩服眼力劲。

为阅读方便起 ...

单张顺子的还有另外的情况可以计算下，公共牌面有卡张的情况，比如

9TJKx，9TQKx,  9JQKx的情况，这样PLO的第二坚果感觉要比德州要结实些，老霍不妨加进去

mooch 发表于 2012-7-26 10:27
单张顺子的还有另外的情况可以计算下，公共牌面有卡张的情况，比如

9TJKx，9TQKx,  9JQKx的情况，这样PL ...

mooch兄，我计算的百分比，都是在你手持第二坚果时，对手第一坚果的概率。所以在第二坚果是单张顺子时，不影响第一坚果的计算。

所以9TJKx，9TQKx,  9JQKx 这三种情况，其坚果情况属于原表格第三行：普通坚果顺子。

但这时第二坚果本身确实是不一样的。无论NLH还是PLO中，第二坚果的概率都大了很多。
也就是说，当牌面是9TJKx，9TQKx,  9JQKx 无花，虽然你被打败的概率不变，跟普通顺子面一样（NLH中1.2%，PLO中7%），但是你跟对方打平的概率比普通顺子面大了很多。

第二坚果另一种常见形式：
台面3张同点数牌，另两张点数不一样，且没有同花顺面。如： 9s9c9hAd5s
PLO里，坚果是 9XXX，第二坚果是AAXX，坚实度为 9.3%
NLH里，坚果是 9X，第二坚果是AA，坚实度为 4.4%

dengxianqi 发表于 2012-8-8 00:56
第二坚果另一种常见形式：
台面3张同点数牌，另两张点数不一样，且没有同花顺面。如： 9s9c9hAd5s
PLO里， ...

补充的好！原帖monox的启发的也好。

这是PLO中罕见的“单张牌坚果”情况。虽说我相信你的计算，但是不经过自己的手总觉得隔着一层膜，计算如下

PLO中：1 - (42 choose 4)/(43 choose 4) = 9.30%
NLH中：1 - (44 choose 2)/(45 choose 2) = 4.44%

monox原帖中我直觉也觉得AAXX很结实，能过牌不可思议。可是经dengxianqi计算后才觉得这第二坚果也没什么嘛，其结实度落后于第二大顺（7%），更远远落后于第二大花（4%）。

从另一个角度讲，这个AAXX的第二坚果是一个点，因为对手不可能也是第二坚果。这个点在对方所有牌谱中排列9.30%
而其他类型的第二坚果多为一个面，跟对手某部分牌并列。
比如第二大顺类型的第二坚果，就是一个面，对手所有牌中从7%到13%都是第二大顺，平均牌力是10%左右。
从这个角度讲，AAXX又要比第二大顺要结实一点。

还有几个第二坚果：
（1）手里拿AK，公共牌AKKxx。
（2）手里拿KK，公共牌AAKKx。
（3）手里拿KK，公共牌KQJxx。
（4）手里拿KK，公共牌KQJTx
（5）手里拿KK，公共牌KQJ9x

老霍有现成的公式，请算一下吧。
我给凑数来了。