请教一个概率问题

老陈 发表于 2012-7-18 14:59
建议检查一下23楼的公式推导过程。
我看：P(N)=W*P(N+1)+L*P(N-1)
好像：P(N)=L*P(N+1)+W*P(N-1)

我是这么定义的：

每次下注量为1万，N为当前的筹码量N万（单位是万），P(N)指以当前的筹码量打到120万的几率。
P(N+1)指以(N+1)万的筹码量打到120万的几率。
P(N-1)指以(N-1)万的筹码量打到120万的几率。


W为每次下注赢的几率，L为每次下注输的几率，W=1-L. 这个例子W=0.49375， W比L小。

那么，当筹码量为N万的时候下注1万，赢的时候（W）筹码变成N+1，输的时候（L）筹码变成N-1。

那么，对应的P(N)=W*P(N+1) + L*P(N-1), 这个思路不知道有没有问题，请指教。

如果依据上述思路得出的公式是合理的话，经过等价变形，则有：

  P(N+1)-P(N)=(L/W) * ( P(N)-P(N-1) ),
  P(N)-P(N-1)=(L/W) * ( P(N-1)-P(N-2) ),
  ........
  P(3)-P(2) = (L/W) * ( P(2)-P(1) ),

另外 ：P(1)=P(2)*W+P(0)*L,P(0)=0，所以 P(2)=P(1)/W

全部相加：P(N+1)-P(2)=(L/W)(P(N)-P(1))   。
          P(N+1)=(L/W)*P(N)-(L/W)*P(1)+(1/W)*P(1)=(L/W)*P(N)+P(1)

即：    P(N+1)=(L/W)*P(N)+P(1)                    。。。。公式1

全部相乘：P(N+1)-P(N)=((L/W)^(N-1))  *  (P(2)-P(1))=((L/W)^N)*P(1)

即：   P(N+1)-P(N)= ((L/W)^N)*P(1)        。。。。公式2

实际上用公式2就可以直接得出： P(N+1)=P(1)* (1+(L/W)+(L/W)^2+....+(L/W)^N )

即：                                          P(N+1)=P(1)*(1-(L/W)^(N+1))/(1-L/W))       。。。公式3           

不熟悉的用公式1带入公式2，也可以得出公式3.

已知：  P(120)=1，

        P(N)=P(N)/P(120)= ( 1-(L/W)^N ) / (1-(L/W)^120)


以上是推导过程。

W为每次下注赢的几率，L为每次下注输的几率，W=1-L.
那么，当筹码量为N万的时候下注1万，赢的时候（W）筹码变成N+1，输的时候（L）筹码变成N-1。
那么，对应的P(N)=W*P(N+1) + L*P(N-1), 这个思路不知道有没有问题，请指教。

不敢指教，共同讨论。
我的思路是你想用P（N）打到120万，那P（N）的来源有两种可能，一是在N+1时输了，二是N－1时赢了。不知道想偏了没有。

再说计算。
我改变每次下注数额，1000，5000，20000，30000，50000，结果都非常接近，只是计算时间不一样，少算得慢，多算得快。老霍在17楼提到“与押多少无关”，我认为有手续费时照样适用。定性地说，如果玩家能用改变下注数额提高实现达到目标的概率是不可能的，因为每一次下注都是一个独立事件。
改用胜率来计算，无手续费，结果也都非常接近我原来的计算结果。

老陈 发表于 2012-7-18 17:51
W为每次下注赢的几率，L为每次下注输的几率，W=1-L.
那么，当筹码量为N万的时候下注1万，赢的时候（W）筹 ...

我们思路好像不一样。

P(N)是指当手里有N万筹码的时候，后面无论输还是赢，也就是说无论输赢的路径如何，到达120万的几率。

“我的思路是你想P（N）打到120万，那P（N）的来源有两种可能，一是在N+1时输了，二是N－1时赢了。不知道想偏了没有。”，
(当筹码为N+1无论后面输赢都可能打到120万，当筹码为N-1无论后面输赢也都可能打到120万。)

P(N)的来源的确有两种，分别来自P(N+1)和P(N-1).

P(N+1)指在筹码量为N+1时包含了所有可能到达120万的路径的几率，不考虑路径的细节，只知道从这里到120万的几率是P(N+1)就好。

P(N-1)指在筹码量为N-1时包含了所有可能到达120万的路径的几率，不考虑路径的细节，只知道从这里到120万的几率是P(N-1)就好。

W和L指的是当筹码量为N的时候，有W的几率变成N+1筹码，有L的几率变成N-1的筹码，

当筹码量为N的时候，到达120万的几率是P(N), 经过1轮下注，会出现两种路径：

A）有W的可能性走N+1这条路。如果走N+1这条路，那么到达120万的几率是 :  W*P(N+1)


B）有L的可能性走N-1这条路。如果走N-1这条路，那么到达120万的几率是 :  L*P(N-1)

这个路径选择，基于当筹码为N万时候的胜负，胜(W)则走P(N+1)这条路，输(L)则走P(N-1)这条路，

总的路径就是：W*P(N+1)+L*P(N-1),  这个结果和P(N)应该是等价的，即：

P(N)=W*P(N+1)+L*P(N-1)


这里计算的内涵和EV计算的会有点不一样，这里算的是各种路径的可能，不知道我这么理解对不对。

老陈 发表于 2012-7-18 18:00
再说计算。
我改变每次下注数额，1000，5000，20000，30000，50000，结果都非常接近，只是计算时间不一样， ...

无手续费，如果转换成丢硬币模式，从公式看，和下注的金额无关，到达120万的几率都一样。

有手续费，如果转换成丢硬币模式，从公式看，我觉得，每次下注的金额最终似乎还是会影响到达120万的几率。

这个几率虽然影响了，但EV始终还是负的，就是说无论对手如何调整，比如增加下注额，即便他到达120万的几率提高了，但他总的EV无论如何都是负的，只是负的少一些。

如果说手续费模式下，下注金额的改变不会影响到结果，那或许更能说明手续费模式和硬币模式也许是不等价的（虽然每次下注的EV是一样的，但到达120万的概率计算不等价）。

不知道这么理解对不对。

还有种可能：公式的推导有问题，可能是哪里缺了点什么，我再想想哪里出问题了。

dfu2012 发表于 2012-7-18 11:00
那题我理解上有点歧义，所以没仔细看。

原题目：巴萨和皇马德比238场，没有任何一个队连输5场过， 我们 ...

有思路就是胜利。有想法就是突破。

@老陈  @dfu2012

有手续费的时候，我觉得是要影响成功概率的。可以考虑一个极端的例子辅助思维：手续费不是2.5%，而是99%。

这种条件下，显然凭直觉即可判断，100万玩到101万，每次压1万是几乎不可能的，因为胜利等同于是（赢的次数比输的次数的100倍还多100次），这肯定比破产的几率要小得多。但是如果上来就100万全押，则确保有50%的成功概率。

用公式算，却不考虑下注大小，因为下注大小不是公式组成部分。这可能就是边界问题造成公式不适用。

刚才用老陈的程序跑了一下10万次次的 “100万打到200万”，在Intel Core i5-2450M 2.50GHz的CPU，4G内存上跑了两分钟左右，结果如下：

Win：7190次
Lose：92810次
Total：100000次
Win Rate：7.19%
与公式的计算结果非常吻合。

老陈你为什么算的不一样呢？我贴一下全部程序（Excel 2010 VBA ）：


Const BUYIN = 1000000
Const CASHOUT = 2000000
Const BET = 10000
Const COMMITION = 0.025
Const CALCTIMES = 100000

Dim Wins, Lose As Long

    Private Sub Button1_Click()
        Wins = 0
        Lose = 0
        Dim I As Long
        For I = 1 To CALCTIMES
            Bacc
        Next
        Label1.Caption = Wins
        Label2.Caption = Lose
        Label3.Caption = Wins + Lose
        Label4.Caption = Format(Wins / (Wins + Lose), "###.00%")
        Label5.Caption = Format(Lose / (Wins + Lose), "###.00%")
    End Sub
   
    Sub Bacc()
        Dim Chips As Long
        Chips = BUYIN
        Dim Ws As Double
        While True
            
            Ws = Rnd()
            If Ws < 0.5 Then
                If Chips > BET Then
                    Chips = Chips - BET
                Else
                    Lose = Lose + 1
                    Exit Sub
                End If
            Else
                If Chips >= BET Then
                    Chips = Chips + BET * (1 - COMMITION)
                Else
                    Chips = Chips + Chips * (1 - COMMITION)
                End If
               
                If Chips > CASHOUT Then
                    Wins = Wins + 1
                    Exit Sub
                End If
            End If
        Wend
    End Sub

Howard 发表于 2012-7-18 08:35
刚才用老陈的程序跑了一下10万次次的 “100万打到200万”，在Intel Core i5-2450M 2.50GHz的CPU，4G内存上 ...

老霍运行的程序我有两处疑点，一变量Chips应该定义为Double，这个问题对结果有影响，可能影响不大。二是在语句WS=Rnd()前我用了一条初始化随即数序列的语句，没有这条语句产生的WS可能不是随机数。老霍可以监视一下WS变量的值验证一下，我用Visual Basic .Net 确实如此。

@老陈，

第一， Chips数是Double还是Long，如你所说，应该影响不大。我觉得Long反而更符合现实情况一点，最小筹码不会低于1元。但无论用哪个，结果都应该相差很小

第二，我删掉那句话的原因是：暂时没有在VBA中找到对应的语句，只好删了。但根据结果判断，无论是120万还是200万，程序运行结果都和公式计算结果吻合，随机数应该没造成什么麻烦。我的猜测是，Rnd（）产生随机数不是真随机的情况，只有大规模科学运算和大型网络游戏之类的才需要考虑，像我们这种规模的程序，Rnd（）已经足够随机。

        即使如此，我还是试图验证了一下。检验一个序列是否符合随机数特征，是很麻烦的事儿。我只能先看ws变量在0.5以上和在0.5以下的次数比较。经过十万次的模拟，结果如下（200万或输光）：
Win：7190次
Lose：92810次
Total：100000次
Win Rate：7.19%
ws大于0.5：49998
ws小于0.5：50002

如此接近，可看作满足随机数了。另外这次模拟居然7190次跟上次分毫不差，不知道是巧合还是奇怪。