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本帖最后由 dfu2012 于 2012-7-17 22:48 编辑
Howard 发表于 2012-7-17 13:16 ![]()
如果不计2.5%的手续费，则该赌徒的100万（在破产前）变成120万的概率是100/（100+20）= 80%
注意此结论80% ...
0.49375似乎没有错，但输的概率(另一面)应该是0.50625.
我推导了一下公式，和你的一致，但我觉得老陈的结果可能更精确，因为老陈有一些临界的条件处理，比如当筹码小于10000的时候，公式里似乎没有考虑这一层。不知道我理解的对不对。这个例子用老陈的方法可能更精确。
说一下公式推导的思路：
1. 不考虑手续费，则每一把胜率是50%，当筹码为N时，打到120万的概率是P(N),那么每次投注后筹码变成N-1和N+1的概率都是50%，对应的P(N-1)指的是当筹码为N-1的时候赚到120万的概率。
P(N)=0.5(P(N-1)+P(N+1)),根据这个可以推导出：P(N)=N*P(1).
P(120)=1，P(1)=1/120，算出P(100)=100/120
2. 考虑到手续费，做个等价转换，胜率调整到49.375%，为推导方便，N为筹码量N万筹码，每次下注1万，赢了筹码变成N+1,输了变成N-1，每次下注赢的概率计为W(win,即0.49375),输的概率计为L(lose,=1-W)，P(N)表示当筹码为N时，能到达120万的概率，则：
P(N)=W*P(N+1)+L*P(N-1)，可以推导出：P(N+1)-P(N)=(L/W) * ( P(N)-P(N-1) ),
注意临界条件：P(0)=0，当筹码为0的时候可以打到120万的概率为0，那么 P(1)=W*P(2)+L*P(0)=W*P(2),这个细节对推导出正确的公式结果很重要。
最后：P(N)=P1*(1-(L/W)^n) / (1-L/W),
当筹码N等于120的时候，P(120)=1，用P(100)/P(120)
当N=100即筹码等于100万时，P(100)=(1-(L/W)^100) /(1-(L/W)^120) ,
事实上，P(n)=(1-(L/W)^N) /(1-(L/W)^120)
令 L=0.50625，W=0.49375，则和火花的公式完全一致。
即: P(100)=(1-(0.50625/0.49375)^100) /(1-(0.50625/0.49375)^120).
计算的结果比老陈的数字要小。
之所以出现这个偏差，我觉得原因可能在于，由于手续费的存在，在现实中筹码低于1万的时候，和我推导的公式用的前提条件已经不等价了，这个时候已经做不到每次压1万筹码，因此出现了不等价的情况。
从这个角度看，老陈的计算应该是更精确的结果。
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