足球与数学

大家都知道足球的表面，在不考虑充气后的弯曲，足球表面是由12个正五边形(黑色)，和20个正六边形(白色)组成。仔细一数就知道一共有32个面，面与面的相交的线有90条，线与线的交点有60个。面数+点数=线数+2。这个关系式对六面体也成立。问题：是不是对所有的表面是有多个平面组成的物体都成立？

我认为对一切多面体都是成立的，欧拉他老人家应该不会错

另外，虽然这叫欧拉公式，但是比欧拉早100多年的笛卡尔就已经证明出来，可惜没有正经发表，不为人知。后来人们知道了也晚了，欧拉公式的名头已经深入人心。

另另外，哥认为欧拉是史上第一数学家（可能并列）。史上前三数学家，排名难以分先后，哥认为是：欧拉，高斯，牛顿

另另另外，
数学家跟物理学家的排名差别很大。我列出的前三，肯定有无数人有不同意见。但对于物理学家，每个人都认为牛顿和爱因斯坦是前两名，只不过他俩谁第一可以有不同意见。

这个题目证明难度不是非常大吧？

证明这个定理，用立体在平面上投影，变成平面问题，然后再想办法。但是图形互相交叉比较乱。

给多面体打气，把榴莲状的多面体变成没有往里凹的足球状多面体。把多面体的一个面扩大是其投影成为整个多面体投影的外轮廓，扩大过程保持多面体没有凹进去的地方。把这个面去掉，多面体就变成了一个盆，如果能证明这个盆，面数+点数=线数+1（以下称1式），也就相当于证明了定理。把盆投影到平面上，所有的点、线、面就都不重合了，并且1式不会改变。给平面上图形添加辅助线，把多于3个边的多边形切割成三角形，每加一条辅助线就多一个面，1式不会改变。观察最外圈的点，如果这个点被多个三角形共享，就去掉最外面的一条边，1式不会改变，如果这个点只被一个三角形拥有，就去掉这个点和过这个点的两条边，1式不会改变。这样反复地去，最终图形就一定只剩一个三角形，三角形显然满足1式，所以定理成立。