数学归纳法

中学时老师教数学归纳法。方法是这样的：如果某个结论在n=1时成立，假设n=k时成立，可以得出n=k+1时也成立，那么这个结论对所有的自然数都成立。老师给我们证明了几个公式，全班多数同学都学会了这种方法。也有少数几个同学不会，其中一个名叫李国军，向老师说，我认为这个方法根本不行，我可以举例说明。李国军说，老师你是一个大美女，这是全校公认的，从你的头上拔下一根头发，你不会变成秃子，假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子，由此得出把你的头发拔光你仍然不是秃子。显然数学归纳法是荒谬的。

“假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子”
然而在假设拔下K根头发的情况下，并不能用数学方法推理出对于K+1仍然成立，李国军同学给出的论据不成立。至少他尝试证明数学归纳法错误失败了。

AKsReid 发表于 2018-8-7 00:11
“假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子”
然而在假设拔下K根头发的 ...

假如拔掉了K跟头发老师不是秃子，再拔掉一根显然老师仍然不是秃子，为什么要用数学方法推理呢？

老陈 发表于 2018-8-7 20:24
假如拔掉了K跟头发老师不是秃子，再拔掉一根显然老师仍然不是秃子，为什么要用数学方法推理呢？ ...

首先，请定义什么是秃子。
其次再证明K成立的情况下，K+1也成立。
假定秃子定义为头发密度小于等于y，老师头发总量为x。
设老师头发不秃在n=k时成立，有 x-k>xy,
然而并不能推导出x-(k+1)>xy。故原文中的“显然”不成立。

AKsReid 发表于 2018-8-7 08:02
首先，请定义什么是秃子。
其次再证明K成立的情况下，K+1也成立。
假定秃子定义为头发密度小于等于y，老 ...

没有必要用数学方法定义秃子，秃子就是秃子，没上过一天学的人都知道什么叫秃子。如果甲不是秃子，乙比甲少一根头发，那么乙一定不是秃子。秃子和不是秃子头发肯定差很多。

老陈 发表于 2018-8-7 22:57
没有必要用数学方法定义秃子，秃子就是秃子，没上过一天学的人都知道什么叫秃子。如果甲不是秃子，乙比甲 ...

问题或者说诡辩术就在这里呀。
没有定义秃子，所以利用定义含糊来做一个推断，不符合数学归纳法要求。

假设在你头上拔下k跟头发你仍然不是秃子，可以得出拔k+1根头发你仍然不是秃子

头上头发是已知的，所以这个假设K是不成立的，换成这样，全宇宙生命身上的毛发（全宇宙有多少生命是未知）

数学归纳法说的是这个K要是任意一个正整数都需要成立 也就是说你需要拔掉任意K根头发都不是秃子 这个的前提是你的头发数量需要大于任意一个正整数 那么在这种情况下你确实可以认为拔掉k+1根头发还不是秃子

回到这个问题的现实情况来说 由于一个人的头发数量是有限的 你总能找到一个临界点 拔掉K根头发后只剩一根头发 但是再拔一根就秃了 所以你不能证明对于任意K成立时 k+1也同样成立

要理解数学归纳法，一定要知道这个是对于任意K都要成立，而不是对于一个特殊的K成立

榆木脑袋 发表于 2018-8-7 20:55
数学归纳法说的是这个K要是任意一个正整数都需要成立 也就是说你需要拔掉任意K根头发都不是秃子 这个的前提 ...

如果任意K都成立，那还证明啥呀？

老陈 发表于 2018-8-8 11:37
如果任意K都成立，那还证明啥呀？

我可能没说清楚 我的意思是数学归纳法的定义是 你对于任意一个K 假设N=K结论成立 都可以推出N=K+1的时候成立  那么你就可以证明这个假设对于所有正整数都成立
回到你这个问题的本质是 在头发数量有限的情况下 总存在一个数值 当N=K时 你还有一根头发 N=k+1你就是秃子了 所以推论不成立 并不是说假设有问题 而是从假设开始得出的推论不对