出道题：KQJ 之No Limit局

不是NoLimit Holdem，是个玩具对局。
甲乙二人heads up，牌敦中只有三张牌：K、Q、J。大小为：K>Q>J

底锅为1，无盲注。有效筹码足够深。每人随机发一张牌。

乙是进攻者，他可选择check/bet，bet量自定（为讨论方便，回帖请用b代表bet量）。甲是防守者，如果乙check，他只能check；如果乙bet，他只能fold/call。没有raise。

现在假设乙决定value bet量和bluff量相等都是b，
问题：乙的最佳bet量b是多大？

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提示：
1） 本问题有一定难度
2）看过我《扑克的本质笔记》一帖的朋友可能对KQJ游戏有印象：乙显然只能bet K （value bet，希望甲拿Q去抓bluff），或者bet J（bluff，希望甲fold Q），绝不能bet Q（甲拿K一定call，拿J一定fold）
3）甲乙都采用Game Theory Optimized策略

乙三种情况是各33%
K: bet
Q: check
J: x% bet bluff, (1-x%) check

甲面对三种情况，各有50%可能
乙K，
甲J，fold，乙得1，
甲Q，y call，(1-y) fold，乙得1+yb
乙Q，甲无论如何check
甲K，乙得0
甲J，乙得1
乙J，（1-x）check，乙得0
x bet
甲k，乙得-b
甲Q，ycall，乙得-b，（1-y）fold，乙得1

综上，乙得
1/6*1+1/6*（1+yb）+1/6*0+1/6*1+1/3*（1-x）*0+1/3*x*（1/2*(-b)+1/2*y*(-b)+1/2(1-y)*1）
=1/6*(3+yb+x*(-b-yb+1-y))
=1/6*(3+b(y-x-xy)+x(1-y))

假设存在一个b>0，使
b(y-x-xy)+x(1-y)>0，且有最大值
如果y-x-xy>0，那么b应该是无穷大，于假设不符
如果y-x-xy<0，那么b<(x(1-y))/(x+xy-y)，b=0，亦于假设不符
所以不存在这么一个b

先把问题简化。
先看甲的策略：甲拿K一定CALL，拿J一定FOLD。
关键分析甲拿Q时：
如果甲知道乙的策略，由于乙BET量是相等的，甲CALL的EV=50%*（b+1)-50%*b=0.5
所以甲拿Q一定CALL。
乙的EV=50%*（b+1)-50%*b=0.5
双方EV与b无关，所以我的结论是BET多少都可以。

2楼notch的讨论很严密，最后的简化公式我算了算也没错：
乙的EV=1/6*(3+b(y-x-xy)+x(1-y))

但是，最后的结论忽略了一点，就是x和y都不是独立于b的。换句话说，他们都是关于b的函数。因为甲和乙都打optimized策略。所谓optimized，就是说我明告诉你我的策略，你也不能通过改变战术（x，y值）来剥削我。所以，乙的EV是有可能有最大值，或者至少有区域极值的。

3楼竹林，

乙拿着K肯定bet100%，但是拿着J却只有一定比例bet。为跟2楼一致，

乙拿J bet%= x
甲拿Q call%=y

sqrt(2)-1 ?

我把题目理解错了，我以为乙每一手都BLUFF了，导致把问题简单化了。

我初步思路是找出一个EV的三元函数，这个函数对甲乙双方都是最佳的，用偏导数等于0时EV取极大值。解出x,y,b。
慢慢来。

zdy32167 发表于 2012-6-22 22:13
sqrt(2)-1 ?

推理、计算过程？

竹林居士 发表于 2012-6-23 00:50
我把题目理解错了，我以为乙每一手都BLUFF了，导致把问题简单化了。

我初步思路是找出一个EV的三元函数， ...

跟聪明人说话就是省事儿！竹林太上道了，一下子把方向指的明白儿的。

Howard 发表于 2012-6-23 01:06
跟聪明人说话就是省事儿！竹林太上道了，一下子把方向指的明白儿的。

你们先折腾
我只看最后结论