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本帖最后由 dfu2012 于 2012-6-8 13:21 编辑
竹林居士 发表于 2012-6-8 11:37 ![]()
我也补充一点
题目根本不存在级别，我们学校的那个清洁工老太太，我估计她一辈子也做不出这两道题，更不 ...
奇怪。
从你的回复上看，似乎我的解法没有通过。
解题的结果我没有验证，但思路我确定是没有错的。
这里顺便整理我的思路，包括代数解法和几何解法，帖子里都有写，先看代数解法：
1. 代数解法多少有点取巧，不严谨。
假定三维球体切N刀，最大的切割数量是S(N),得出S(1)=2，S(2)=4,S(3)=8,S(4)=15，这4个值可以画图找出来，关键是S4（第4刀）的陷阱很深，一般人画出来是14，其实是15，画出15还真不容易的，用三维投影才看的清楚这个图像，就是说能切割到7个空间，即2*7+（8-7）=15。
然后根据这4个值找规律，这是数论类题目的基本技巧，我前面的帖子用了三排数值排列，然后逆推出S10。但这个解法逻辑上说不过去，凭什么你就敢根据4个数字的规律推出第10个数字S(10)。第一排的23可以延伸到10，然后逆推出三排排列。第三排是S(N)的排列，第二排是第三排两个相邻值互相减，第一排是第二排相邻值互相减。
第一排 2 3 （4,5,6,7.。。10这都是假定的，逆推第二和第三排）
第二排 2 4 7
第三排 2 4 8 15
（我前面也写了，我没注意到第二排的数值居然对应二维的最大值，做这题的时候，二维的解法我确定逻辑没问题，但三维是边想边写的，其实打字时间长，还要修正，否则时间会快很多。）
2. 几何解法逻辑清晰，思维严谨。
A) 首先二维面的推导：
假定二维园面切N刀，最大的切割数量是W(N),当第N刀切下去的时候，最关键在于这一刀也就是这条直线上有多少个没有交点的分段直线。
这第N刀直线上有多少个分段直线，就对应着切割了多少个区域，这个分段直线的数量对应的正是要切割的区域的数量。
这条直线（这一刀）有多少个分段直线，就可以切割多少个区域，分段直线的数量是（交点的数量+1）。
问题就变成最多有多少个交点，N刀之前，最多N-1个直线，那么最多N-1个交点，也就是说最多切割N个区域，被切割的区域变成2N，未被切割的区域是W(N-1)-N.
那么逻辑关系就是：W(N)=(W(N-1)-N)+2N=W(n-1)+N. W1=2，那么很快就可以推导出二维面N刀最大切割的公式。
画一画图，上面的逻辑很好理解。
这一点很多人都算出来了，尤其是17楼，他就给了个数值92，我开始也以为是92，因为园面的第9刀是46，第10刀变成球，中间横一刀翻倍不就是92吗？当然这想法是错的。
B） 球面的推导：
假定球切N刀，最大的切割数量是S(N),当着第N刀切下去的时候，最关键的是这一刀也就是这个切割刀面上最大能有多少个封闭区域，这个横断切割刀面上有多少个封闭的区域也就能切割多少个空间，这个封闭区域的数量对应的正是要切割的空间数量。
这里基本不用想象第4乃至第5刀是怎么切的，想这些会走入歧途！不要去画球，画一个简单的横断面切割几个相邻空间的图会很容易理解，（比如用刀中间切3个相连接的正方体，这个切割刀面（横断面）上留下3个切割出来的正方形区域。切完后三个正方体变成6个长方体）切割横断面上有几个封闭区间，就对应着切割了多少个空间。
第N个切割刀面最多和前面的N-1个刀面相交，也就是说在这第N个切割刀面上最多有N-1个切割直线，也就是说这第N个切割刀面上最多W(N-1)个区域。
也就是说：第N刀能切割到的最大空间=W(N-1)
那么：S(N)=未切割的空间+第N刀切割的空间*2=(S(N-1)-第N刀切割的空间)+第N刀切割的空间*2=S(N-1)+第N刀切割的空间。
即 S(N)=S(N-1)+W(N-1), S1和W(N)都是已知的，推导出S(N）的公式不难。
严格来说，代数解法是猜，几何解法逻辑严谨清晰，可以接受的也就是几何解法。
虽然，现在“切西瓜”的思路在脑子里很清晰，但打这段字依然花了很多时间，边解边写和直接算花的时间差别很大的。
毋庸置疑，解这道题花了我很长时间，不知道上面的解法哪里有问题，如果思路是对的，我还是很高兴能解出这道题。
另：这种高兴竹林没办法理解的，我现在的记性糟糕到我根本就不自信自己还能做智力类的题目，只要解题思路对了，我就很满足了，快慢其实无所谓的。解这类题的过程比没事郁闷发呆要强多了。既然解题是一种乐趣，那么解题的过程是完全封闭的，有参考的话也只是对照了帖子里其他人的解题结果。
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