shfe网友关于甲乙互相清光的概率问题并不难算

我相信大家初中的时候肯定都会做 。我在这里只提供一个思路。
先考虑甲有1元，乙有２元的情况。乙把甲清光的概率是Y，反过来甲把乙清光的概率就是（１－Y）。简单的等式：
Y=０.５+０.５（１－Y）。 我们很快得出Y=２／３。
在考虑甲有1元，乙有３元的情况。
Y=０.５+０.５x０.５， 因此Y=３／４。
接下来大家很快可以得出（具体从略）：
乙有４元，Y=４／５；
乙有５元， Y=５／６；

甲和乙互相把对方清光的概率和双方的初始筹码量完全一致。

这个比较简单，要是加上概率和EV呢。

还是我在另一个帖子里的例子。

我说仔细点

A有10万赌资，B有1万。
两个人打2-5无限，每个人都买入了1000.这是个带ante的游戏，10人桌，每人ante是20元。这时候A拿了AA，翻牌前跟进20，B拿红桃78靠了。
翻牌出来256，两红桃，A把余下的1000（980忽略这20）全进了，B见其他8个人都扔了后靠。
概率大约是A48%对B52%，但两个人都是正EV

那么假如把这个正EV的赌博再无限的重复下去。A把B余下的9000清光的机会多大，B把A余下的99000赢光的机会多大。
重复规矩如下，输的人再自动买进1000，其他8个人post ante后自动扔牌。

两个人手里同样的牌，同样的翻牌，然后无限重复下去。

我凭感觉，A将有75%的时候清光B，25%自己被清。

老霍等一定帮我好好算算，这个结论将非常重要。

我觉得需要适当简化模型：

第一：这里暂时不用考虑EV，只需要考虑每一次对赌的胜率即可。
第二：Buying是多少其实已经不重要，只有BR在起作用。因为即使BR小的一方准备了多个Buying，但是其决定因素的仍然是双方BR的倍数，可以把多个Buying看成是1个buying赢了几次之后重新开始的一个“阶段”情况。
第三：回归到之前的那个帖子，就是在每一个特定的“阶段”，破产和翻倍的概率不会发生变化，仍和每一次对赌的胜率相同。

再作了上面的简化之后，以下对墙提出的较为复杂的模型进行进一步分析。假设双方的BR倍数为 m，每次对赌小BR玩家的胜率是 P，最终小BR玩家胜出的概率为 x。利用楼主luckystar提供的思路可以得到：

x = P / [ m * ( 1 - P ) + P ] （大家还是需要检查一下）

带入墙的条件可得小筹码胜出的概率为 9.8%，接近 1/11，大筹码为 90.2%的概率清空小筹码。

当小筹码有技术上的优势，比如 60vs40，他的胜率可能提高，但是也只有可怜的 13%，大筹码则 87%可能情况空对手。

当技术上有压倒性的优势，比如90vs10，小筹码的胜率才可能提高到 47.4%，接近翻硬币。

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以上的简化，对于墙的问题存在一个不足，就是当大筹码输掉一个buying （不论他是否在某个阶段翻倍后再输掉），他无法reload 双倍买入，于是在桌子上就形成了“大BR小筹码”的情况，于是对赌时清空对方的概率将严重偏离 P。我想，这也是墙提问的关键之所在。这种形式的变体，需要对原有模型作改进，回头再想。

接上面，由于reload上限的问题，我们可以发现，如果小BR玩家准备了多个buyin，那么：

1）在输掉第一、二个buyin之后，将严重符合公式当 m = 2或3的情况。
2）在大筹码输掉第一、二个buyin之后，也将严重符合 m = 1/2 或 1/3 的情况。

姑且认为他们各自输掉第一、二个buyin的概率对等，那么，由于有reload的限制，他们互清的概率x将逐步接近对赌的胜率P （也就是技术带来的优势）。具体的算我懒得弄了。但是，即便如此，我们也可以得到一个非常重要的结论，那就是——

对于某一个session，一上桌的头几个Buyin至关重要，如果能把 m 弄到 3以上，那么不管BR如何，大筹码将具有压倒性的优势。我知道我这里说的 BR和筹码量（带上桌的钱）有时候弄得不容易分清楚，大家凑和看吧。

maomaobiao 发表于 2012-2-24 09:30
接上面，由于reload上限的问题，我们可以发现，如果小BR玩家准备了多个buyin，那么：

1）在输掉第一、二个 ...

我觉得这个结论也差不多正确

此案例正是多数人晚奥马哈遇到的情况。
想拿1万去赢10万的财主，太难了。

好思路！

补充一下，不知道是我没理解透，还是想岔了，我觉得甲1乙2，甲1乙3这两种情况，比较好解释，楼主也列出算式了。

但是省略部分（甲1乙大于3）我觉得似乎不太直观呢。比如甲1乙4，乙清空甲的概率是Y

第一次，乙有0.5概率直接把甲清空

第二次，假如乙输了第一次（0.5），那么现在甲2乙3，这是个新情况，需要重新算。假设甲2乙3时乙清空甲概率为b，
则乙输（0.5）后，变成甲3乙2，此时乙再清空甲，就变成了原来的甲清空乙，也即1-b，
   乙赢（0.5）后，变成甲1乙4，乙清空甲的概率又成了Y
所以有 b=0.5（1-b）+ 0.5Y

还是搞不出来。晕了，请楼主明示下。

伟大的墙 发表于 2012-2-24 01:38
这个比较简单，要是加上概率和EV呢。

还是我在另一个帖子里的例子。

我没琢磨出来，作弊了。去wikipedia直接找到了答案。

如有兴趣，请看http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin

如没兴趣，就直接本文看我整理好的结论。

先把老墙的问题简化规范化一下。甲玩家筹码n1，乙n2，双方掷不规范硬币，赌注1，甲赢率为p，乙赢率q （=1-p），
甲被清空概率为P1，乙被清空概率为P2
则有：



代入老墙的条件（A有10万赌资，B有1万。每次下1万。A48%对B52%。其他人的Ante就不考虑了）：
P1=13.139992%
P2=86.860008%

若是A和B严格50%，P1本应该是1/11=9.0909%，现在因为小筹码的52vs48微弱优势，总概率大了4%左右

Howard 发表于 2012-2-25 01:51
我没琢磨出来，作弊了。去wikipedia直接找到了答案。

如有兴趣，请看http://en.wikipedia.org/wiki/Gamb ...

唉，图片被zhiyoucheng.com遮盖了。不过估计大家对公式兴趣不大，我就懒得再处理了。

1:10的筹码比例，下表是小筹码的技术优势和他清空对手概率：

技术优势%： 清空对手%
52        13.1%
55        20.4%
60        33.7%
65        46.2%
66.65        50.0%
70        57.1%
75        66.7%
80        75.0%
85        82.4%
90        88.9%
95        94.7%
98        98.0%

红字可见，他优势须达到66.65%，才能跟一个10倍BR的对手扯平。

Howard 发表于 2012-2-25 01:29
好思路！

补充一下，不知道是我没理解透，还是想岔了，我觉得甲1乙2，甲1乙3这两种情况，比较好解释，楼主 ...

其实没那么复杂。至少有两种简单算法：

１。科学归纳法。

N=１ 结论成立。假设N=K时结论成立，能够推出N=K+１时也成立，则当N为任何整数是都成立。

所以如果当N=K时，概率为：K／K+１，既甲赢了乙K元的概率为１／K+１。
当N=K+１时，乙还剩下一元（既甲赢了乙K元）的概率为１／K+１。所以
１－Y=（１／K+１）Y, 左右两端都是甲赢的概率。

我们得出：Y=K+１／K+２。
证毕。

２。直接推算，以甲一元，乙四元为例：

假设甲二元，乙三元时乙赢的概率为Z。我们有如下方程组：

Y=０.５+０.５Z
Z=０.５Y+０.５（１－Z）
简单得出Y=４／５， Z=３／５。

值得注意的是Z=３／５（甲二元，乙三元）!
当乙为五，六。。。元时，过程会越来越复杂，但是方法同乙为四元时一样：多元方程组加上对称性。