请问一个概率问题

甲乙玩掷硬币游戏。甲掷乙猜（乙猜对的概率为50%），乙每次都是押一元。

甲有1元，乙有10元。甲或者乙输光，游戏结束。

请问：乙的胜率是多少？（就是把甲的1元清袋的概率）

如果一开始甲有1元，乙有20元。概率又是多少？

这个问题很好，但是我不会计算
迫切等待答案

确实是个好问题,也请帮算算,如果改变一下条件,概率会如何.

如果乙每次不是押1,而是以双方的最小的那个筹码量为赌注,赢的概率又会是多少?

乙要第一把赢下来就好说了，50%概率
第一把输了，那么要连赢两局，(1/2)^2，25%概率，算上第一把输的概率那就是（1/2）^3=12.5%
第二把再输，那么要连赢3局，那概率是(1/2)^5
最多可以输9把，然后再连扳回来
这样子依次算上去1/2+1/2^3+1/2^5+....1/2^(19)=66.7%
不知道这样子算法对不对

notch 发表于 2012-2-21 22:13
乙要第一把赢下来就好说了，50%概率
第一把输了，那么要连赢两局，(1/2)^2，25%概率，算上第一把输的概率那 ...

感觉胜率应该高,也许这个就是筹码优势.

确实是好题。

leisong在3楼的提问也挺好。我认为，无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全下），小筹码翻倍的概率都是50%（破产的概率也是50%）。

这也是解决这个问题的关键。

开始，甲筹码1，所以他变成2和破产概率相等，都是50%。

后来，甲筹码2了。从这一点看，他翻倍变成4和破产概率仍然相等，还是50%。至于翻倍和破产的过程，不用去管它。
所以，从一开始看，甲（破产前）筹码变成4的概率是50% × 50% = 25%

以此类推，甲（破产前）筹码变成8的概率是12.5%，变成16的概率是6.25%，变成32的概率3.125%

所以，如果乙筹码是10，甲的胜率应在12.5%-6.25%之间；如果乙筹码是20，甲的胜率在6.25%-3.125%之间。

事实上，他们把对方清空的概率完全正比于他们的筹码比例。如甲1乙10，则甲清空乙的概率是1/（1+10）=9.09%；甲1乙20，甲清空乙的概率是1/21。

这跟ICM计算时的假定是一致的：筹码比例完全正比于夺冠比例。

这题最怕纠缠细节，一纠缠就完蛋了，因为穷举不过来，情况太多了

Howard 发表于 2012-2-22 08:40
确实是好题。

leisong在3楼的提问也挺好。我认为，无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全 ...

亮了！

分析地挺清楚的，还容易懂。

蛇足地解释一下为什么 “无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全下），小筹码翻倍的概率都是50%（破产的概率也是50%）。”

利用排列组合和穷举法这里搞不定，那么怎么把这个问题说得清楚些呢？我们可以用概率和分布。

1. 最小筹码量的时候，1:1 的投硬币，50%破产，50%翻倍，相信没有人质疑这个。

2. 接下来，无论怎么开始，游戏进行下去都有无穷多的可能。但是结束的条件都是“正面的次数 - 反面的次数 = 翻倍需要的最小次数"，或者反之“反面的次数 - 正面的次数 = 破产需要的最小次数"

3. 由于破产和翻倍需要的最小次数是相等的，例如 2 的时候，翻倍和破产的最小次数是2，所以不论游戏进行的方式有无穷多种，以上两种结束游戏的方式是等价的，故而他们发生的概率相同。

4. 而游戏（的某个阶段）只有在上述两种可能下终止，所以，翻倍和破产的几率都是50%。

从乙的角度看，这个是个经典的random walk问题。S_t代表乙在第t次以后的输赢
S_t=X_1+..+X_t, X_t=1 或 -1，对称的概率1/2。
S_t达到+a(这里是+1），乙就赢了；S_t达到 -b(这里是-10），乙就输了。
结论就是乙就赢的概率是 b/(a+b), 输的概率a/(a+b)。

算的话是利用些概率理论。T是游戏结束时间，那么S_T是martingale，然后 0=E[S_T]=Pa*(+a) + Pb*(-b), Pa+Pb=1; 解方程就出来了 Pa=b/(a+b) 。

maomaobiao 发表于 2012-2-22 12:55
蛇足地解释一下为什么 “无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全下），小筹码翻倍的概率都 ...

这个蛇足硬是要得！典型数学归纳法（放狗搜了一下，英文叫Mathematical Induction）证明过程

我那个帖子，只是把一个看似显然的定理拿过来用。其实学过平面几何的都知道，再显然的定理，只要不是五大公理，都需要证明，有的证明起来还非常难。