<扑克的数学>牌例之一：再扩展-真Pot Limit

在 <扑克的数学>牌例之一：AA vs 强draw明牌互博一文中，甲的最佳策略分别是：

1. 筹码50，无所谓（但希望是check-check）；
2. 筹码400，check；
3. 筹码1300，bet pot；

造成甲这种策略变化的原因是，甲的最大优势来源于转牌大幅度领先时可以向乙抽取价值。所以甲要力争在转牌剩余且仅剩余一个potsize bet。

在<扑克的数学>牌例之一：扩展一文中，如果把乙的outs从15个改为14个，乙居然要翻牌fold，即使他的牌占优势。原因是乙的outs已经不够在转牌上跟potsize。

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前两篇文章中，假定游戏是Strict Pot Limit，也即下注必须是Potsize，不能多也不能少。有人回复(包括智游城和我的微博)，你说的那个Strict PL没用，现实中都是No Limit；即使Pot Limit，也是下注Pot以下均可。恰好Bill Chen在书中随后就写了一个真PotLimit的牌例。经我的改编，叙述如下。

有必要重新描述一下牌局：

Pot Limit Hold'em。二人HU。下注或加注可以从最小量到Pot。

双方不但可以看到自己的牌，还可以看到对方的牌。

甲（剩余筹码400）：A A
乙（剩余筹码400）：8 7

翻牌：K 9 6

底锅100。

（为了简化起见，忽略乙runner-runner 两对/明三，忽略甲葫芦。假设转牌乙没听上仍是15个outs）

如果你是甲，你的最佳下注量是多少？（先别往下看，用直觉想一下）

回忆一下牌例之一原文，情况2的叙述（看过的同学请跳过）

情形2：中筹码，二人各有400元

如果二人翻牌上全进，乙的EV是
56%×（New pot size） - （cost of bet）
=56%*900 - 400
=104

如果甲bet 100，乙就恰好能raise potsize全进，以求得104的E。所以甲不能bet，必须check。

甲check，现在假设乙bet 100，甲如果全进，就正遂乙愿，所以甲call。

二人看转牌。底锅300，剩余stack 300。

15/45的情况，转牌是15张乙的out，游戏就结束了，乙虽然胜出，但是从甲那里再得不到1毛钱。（忽略甲fullhouse）
这时乙的EV是 new pot - cost of bet = 300-100 = 200

30/45的情况，转牌blank，甲乙equity之比变为66：34，甲大占优势，bet pot 300 AI之后，乙只能含恨call。这时乙的EV：
15/44 × (900-400) + 29/44 * (-400) = -93.2

综合上面两种情况，乙的EV是15/45 * 200 + 30/45 * -93.2 = 4.53

对于乙来讲，这区区4.53远低于翻牌全进的104。但是，他没有机会翻牌全进，因为甲不给他这个机会。


现在看看甲check后，乙随之check的情况。

15/45的情况，转牌是15张乙的out，游戏就结束了，乙虽然胜出，但是从甲那里再得不到1毛钱。（忽略甲fullhouse）
这时乙的EV是 new pot - cost of bet = 100-0 = 100

30/45的情况，转牌blank，甲乙equity之比变为66：34，甲大占优势，bet pot 100之后，乙只能含恨call。这时乙的EV：
15/44 × (300-100) + 29/44 * (-100) = 2.27

综合起来，乙的EV是15/45 * 100 + 30/45 * 2.27 = 34.85

虽不及翻牌全进的104，但比起乙贸然出手bet的EV 4.53，已经好很多了。

所以，二人的最佳策略是翻牌上check check，转牌如果乙没听上，bet call。

甲希望在翻牌上搞进一个Potsize(100)，这样他能让乙的EV最低(4.53)。但在Strict PL条件下，他不可能自己下注100，如果他下注，乙就全进了，取得最大EV 104。所以甲只好退而求其次check。

现在甲可下注100以下，好像开了一扇门，让他有更大利润的空间。他考虑的最高宗旨，应是保证他在转牌下来之时，剩余筹码恰好是potsize。如果达不到这个条件，则越接近越好。

前面我们的分析，都是站在乙的EV角度。Bill书里面是站在甲的角度。因为EV守恒，此消彼长，所以无所谓。为了一致性以及避免纯抄袭的嫌疑，我以下分析仍然站在乙的角度。

假设双方在翻牌上各搞进去f。这个f，可以是甲下注f，乙call f；也可以是甲check/call乙的下注f。还可以是甲下注1/3 f，乙加注到f，甲call。当然，还可以是甲下注，乙加，甲反加。。。。 无论如何，f就是最后他们在flop上每人投入的钱。

只要f<=100，甲就保证在转牌上，还有一次potsize bet，这个bet的尺寸是2f+100，也就是turn上底锅大小。

1. 15/45，乙在转牌击中，双方再无下注。乙利润= new pot - cost of bet = 2f+100-f= f+100
     (或者：乙利润=甲的投入+初始底锅=f+100）

2. 30/45，乙错过转牌，甲下注2f+100，乙跟
    2.1   15/44，乙河牌中，乙利润= 甲的投入+初始底锅= f +(2f+100) + 100 = 3f+200
    2.2   29/44，乙错过，乙利润 = -（自己投入）= - (f + 2f+100) = -3f-100
综合2.1和2.2，可得乙错过转牌时EV：15/44*(3f+200) + 29/44*( -3f-100) = -42/44 f + 100/44

再综合1和2，可得乙在f<=100时的EV：15/45×（f+100）+ 30/45 (-42/44 f + 100/44) = -0.303f + 34.85

如果f>100，则甲在转牌上剩余stack小于pot size，他只需乙错过转牌时全进即可。

1. 15/45，乙在转牌击中，双方再无下注。乙利润= f+100

2. 30/45，乙错过转牌，甲下注全进，乙跟
    2.1   15/44，乙河牌中，乙利润= 甲的投入+初始底锅= 400 + 100 = 500
    2.2   29/44，乙错过，乙利润 = -（自己投入）= -400
综合2.1和2.2，可得乙错过转牌时EV：15/44*500 + 29/44*( -400) = -93.2

再综合1和2，可得乙在f>100时的EV：15/45×（f+100）+ 30/45 *(-93.2) = 0.333f - 28.8

以f为自变量，乙的EV为变量，这是个分段函数：

                  -0.303f + 34.85 (f<=100)
乙的EV = {
                  0.333f - 28.8 (f>100)

不妨验证一下。f=0时即双方check-check，乙EV是34.85；f=100时即甲pot乙call，乙EV是4.55。均与前文计算结果吻合。

用Excel画出个图来，横坐标是f，纵坐标是乙的EV：



直观地看出，乙最不利的f 恰好就是100，向任意一端偏离100，都可导致乙EV升高。

如果甲下注10，情况会怎样？乙最少可以跟10，最多可以加注到130，也就是说，他可以把f的区间弄到[10, 130]。从图上看出，此区间内，他的EV在f=10时最高，所以他简单call是最佳策略。

如果甲下注20，则乙有权把f 搞到【20，160】。此区间内，仍然是20的EV最高。乙仍然call。

甲不断提高下注，总有那么一点，超过此点后，乙加注pot后的EV将高于平跟。此平衡点找法如下：

设甲下注b，则乙能把f 搞到【b, 3b+100】。在乙的EV函数中，令EV(b) = EV (3b+100)，即可。

-0.303*b + 34.85 = 0.333 * (3b+100) - 28.8

解得：b=23.02

这个b的意义在于，当甲下注23.02时，乙的最佳选择是平跟或者raise pot，这两种选择下乙的EV相同；而乙选择raise 0到pot中间的任何一个其他值，EV都不如这两种选择。

所以甲的最佳策略，自然就是下注23.02

结论：

筹码深度对于下注大小有至关重要的意义；
让对手加注和平跟的EV相同，就是最佳下注值（当然，假定对手是足够聪明的）

你猜对了吗？

“让对手加注和平跟的EV相同，就是最佳下注值”

这就是尽量简化模型下，另外一句经典扑克话语的不同版本——“尽量让对手做决定的时候很难受。”

其实我还有些问题，但还是静静等火花的再次展开。原因是我对深筹码下，在flop一个不算大的锅，如何show commitment。仔细想想，也不到从何问起，便就作罢，等下文。

仔细研读了！！谢谢！！看君一个贴，胜读一本书！！！！

maomaobiao 发表于 2012-1-12 10:16
“让对手加注和平跟的EV相同，就是最佳下注值”

这就是尽量简化模型下，另外一句经典扑克话语的不同版本— ...

没有再次展开了，下次就是例二。你的问题还是别问了，我多半不会，给我留点面子