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为方便大家阅读，先放提纲：
1，定义 2，几乎极化范围的下注尺寸（tipton公式） 3，逻辑和数学推导 4，对方坚果比例增加时的攻防变化 5，软件演示和说明 6，实战指导意义 1，定义
几乎极化，即一方的手牌范围里面有一部分(坚果端)对上对方的手牌范围赢率非常高，而剩下的一部分(空气端)对上对方的手牌范围赢率非常低。而从另外一方的范围来看，大部分手牌只能用来抓诈唬，但有一小部分手牌是坚果，能够打败或者和对方的坚果端分钱。
2，几乎极化范围的下注尺寸
(这个公式和推导最早由Will Tipton发表在《ExpertHeads Up No Limit Hold’em 》一书)
设此时筹码深度为S倍底池，我们的坚果端对上对方的手牌范围赢率为1-T，即对方有比例为T的坚果。这里的T即可以是对方以一定比例慢打埋伏了一部分坚果，也可以是在后面几条街对方手牌范围内很小的一部分击中了坚果。
我们的下注尺寸应为： B = (1+S-T-4S(1+S)T+(S+2S*S)sqrt(T))/((1+2S)(1+2S)T-1)
下面列表看看一些不同的有效筹码和对方坚果比例下的对应尺寸：
| | | | | | | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 | | | 2.00 | 2.00 | 1.14 | 0.62 | | | 3.00 | 1.47 | 0.75 | 0.41 | | | 2.95 | 1.17 | 0.61 | 0.32 | | | 2.43 | 1.02 | 0.53 | 0.28 | | | | | | | |
横轴为对方的坚果比例从5%到25%(如果再大我们根本就不应该在下注,我们也不算是几乎极化了),纵轴为剩余的筹码深度.比如如果还剩余5倍底池,对方有15%比例为坚果时,我们应该下注大约半个底池.
从表里可见,对方埋伏的坚果比例越高,剩余底池越大,我们应该下注越小.
双方的攻防会在下面的推导过程详细说明.
3，逻辑和数学推导
上一篇的内容虽然是针对完全极化的范围,但其实关于怎么混合诈唬和对方以什么频率跟注却有很宽的适用性.因为我们的下注总应该是价值下注混合诈唬下注,比如到了河牌,不需要考虑双方的隐含胜率时,我们这里仍然应该以给对方的底池胜率即B/(2B+1)混合我们的诈唬.其中B是上面提到的下注大小.而对方为了让我们的下注不能混合更少或者更多的诈唬,会跟注或者加注最低防守频率即1/(1+B),即弃牌1-1/(1+B)=B/(1+B).和上篇的例子一样,如果我们下注2个底池,其中我们应该有40%的比例为诈唬,而对方应该弃牌2/3.
但和上篇不同的是,这里对方有T的比例为能打败我们价值端的坚果,这T的比例显然应该加注,同时额外混合一部分他的抓诈唬范围转为诈唬我们的价值端,这里对方的加注范围变成了我们上一篇讨论的完全极化的范围,对方应该全下S, 包括所有坚果T,及可以混合T*(S-B)/(1+S)的诈唬,其中S为我们下注前的有效筹码.而我们面对对方的全下,将用我们的价值端防守相应的比例,而被迫弃掉所有诈唬以及剩下的价值端,可以想象,如果后手筹码越多,我们被迫要放弃的价值端也会越多.
这时候我们下注的EV为三部分的和,注意在对方的GTO策略下我们的诈唬的EV总是为0,只需要考虑我们的价值端,那么对手弃牌我们赢得当前底池1,对手跟注我们赢得(1+B),而对手加注我们输掉额外下注的B. 这样,列出EV公式求极值(求导然后解出令其导数为0的B)即可得到Tipton的下注公式.
再回顾一下双方的策略,几乎极化方应该主动下注所有的价值端以及混合相应比例的诈唬,下注尺寸为上面的公式求出,这时对方会首先弃掉一个比例使得我们的诈唬EV为0,然后在剩下的范围里面全下所有的坚果,再混合一定的抓诈唬范围转为诈唬。而我们会根据现在的底池赔率去跟注一定的价值端。 4，对方坚果比例T增加时的攻防变化
如果我们在前位，只要T或者S不足够使我们的下注尺寸为负数时，我们仍然应该下注，通过下注我们的价值端和诈唬端，不但迫使对方的抓诈唬端增加了弃牌率，而由于我们下注了额外的“死钱”，对方的坚果端全下时可以带的诈唬也会减少，因为这个时候我们的底池赔率变好了。比如底池100，有效200，如果我们不下注，对方每一个坚果组合可以混合200/300即2/3个诈唬组合（诈唬比例为40%，与上篇文章符合），但如果我们计算可以下注50，此时对方每一个坚果组合只能混合150/350（我们下注后跟注加注的底池赔率）即0.43个诈唬（诈唬比例下降为30%）。我们付出的代价是在对方加注的时候输掉了额外的死钱（我们需要跟注一部分使得对方不能增加加注比例，但算EV的时候既然对方GTO使得我们跟注弃牌一样可以简化为我们面对加注全部弃牌），但对方下降的诈唬比例也需要通过更多的跟注来弥补，这一部分跟注也增加了我们价值端的回报。当对方的加注比例可以高于跟注比例时我们下注就开始变得负EV，但这是TIPTON公式本身就保证的平衡点。
如果我们在后位，此时情况变得复杂起来，随着T不断增加，“几乎极化”的条件也被打破，双方范围更加倾向于非极化而是交叉在一起。前位此时有过多的坚果，如果前位此时仍然全部过牌，我们在后卫可以也选择全部过牌，让他的多余坚果失去价值，而如果前位当成完全极化的范围处理而直接全下所有的坚果，那当他过牌的时候变成我们的范围完全极化，我们也可以大幅提高EV。所以前位的策略为直接全下一部分坚果，而在过牌范围内也留下一部分坚果来使得我们的范围仍然处于“几乎极化”，迫使我们要控制下注尺寸。而且不但如此，我们还不能下注过多的价值端，因为此时我们过牌就开牌了，不必再去担心被对方的坚果端剥削。而如果我们下注过多，对方就会增加坚果过牌的比例来做过牌加注，而如果我们下注过少，对方就会减少坚果过牌的比例来增加直接全下的EV提升。
5，软件演示
如同上篇，我们设定在河牌公共牌为22233, 没位置的一方为几乎极化的范围为KK或者JJ,有位置的一方为AA或者QQ.设对方AA的比例为0.15，底池为100，有效为500，根据上面的表可以看出我们下注大概为53%的底池。给软件几个下注尺寸，它果然选择了98.8%的KK只下注这个尺寸（其他一些为精度范围内的误差），此时可以混合的JJ为53/153约为0.34.
面对我们的53下注，对方首先弃牌0.53/（1+0.53）正好也为34%。然后全下了所有的AA(15%),然后相应混合了 约为0.1的抓诈唬端QQ， 而剩下的40%的QQ跟注。
我们面对对方的500加注，防守153/500 约为31%。注意这个31%是从我们的KK里面选择的，而我们的JJ应该全部弃牌，所以总的跟注率只有23.4%。
6, 实战的指导意义
a),实战中我们对对方的范围封顶状况往往是没有那么确定的,即使经过多次行动,对方仍然有一定的慢打坚果可能.又或者一个数据貌似岩石的玩家在翻前亦可能以很小的比例加注56而在553的面上击中三条等等,又或者上篇最后举的例子,多次加注后的公共牌3348J,对方所有的超对中就包括最后击中能打败我们价值端的JJ.
这样,T就可以用来代表我们的不确定度,如果不确定度越高,后手越深,我们应该对我们的下注尺寸越谨慎,当然当不确定度小于10%的时候,往往我们还是应该超池甚至全下.
至于具体的下注大小,可以根据上表记熟常见的T/S组合下的尺寸.
b),当我们在前位的时候,即使对方的范围没有完全封顶,但只要不是太多的坚果,我们仍然应该下注所有的价值端,原因和好处在上面第4段有详细介绍.
c),当对方是几乎极化的范围时,我们在前位,如果坚果比例过低,应该过牌加注所有的坚果,而不是直接下注.随着比例上升,我们可以直接下注一部分坚果+诈唬,而留下一部分保护我们的过牌范围.
d),最后一个但可能却是最重要的一个，由于篇幅有限没有讨论具体EV的变化，但我们可以发现，当筹码很深的时候，在我们的范围内哪怕只保留10%的坚果，也会让对方的下注和EV受到很大的限制。所以轻易不要使自己的范围封顶！
下一篇： （4）考虑手牌移除效应的对称范围
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