關於代數期望與幾何期望

回复  monox0
这个问题以前我也是跟你想的差不多的，但是在想过这个几何期望以后，就意识到这是一个非常重 ...
funnyface 发表于 2011-3-17 11:49

    我数学不好, 几何期望的概念还没消化,你又来一个二叉树... 请教一下你说的第2种情况的期望, 就是你不可变动你资金的情况下,为什么按照A 投资的期望是你写的那个公式?
能给我解释一下吗.

我的理解:    假如我只有100元, 100元是我的全部财产, 我用来做A 这样的投资, 我会得到以下四种情况:

A. 我第一次投资赚, 第二次也赚, 这样的机会是2/3*2/3 =4/9,   我资金变成1.5*1.5=2.25 倍=225
B. 我第一次赚了,第二次亏了, 这样的机会是2/3*1/3=2/9, 我资金变成1.5*0.5=0.75倍=75
C. 我第一次亏了,第二次赚了, 这样的机会是1/3*2/3=2/9, 我资金变成0.5*1.5=0.75倍=75
D. 我运气背,第一次亏,第二次还是亏,这样的机会是1/3*1/3=1/9  , 我资金变成0.5*0.5=25


总结一下, 我有4/9 的机会资金 225, 4/9的机会75, 1/9机会25,所以我的期望是  4/9*225+4/9*75+1/9*25=(4*300+25)/9=1.361= 1.17*1.17  

请问我理解的漏洞在哪里?

回复 21# monox0
你用这种方法，算出的是量的期望，在这个期望中，我们只注意这个方案是否为“有利可图”的，而忽视了其方案在风险上的分布情况。而我所创造的（确实是我创造出来的词，因为不知道这个应该叫什么）几何期望，则是指抛开EV，来看该投资方案下最可能的结果，不是在量上进行计算，而是在“率”上考虑。
如果想得到代数期望的结果，必须要有足够多的取样，而在单次决策中，大数定律是不起作用的，我们只能通过概率判断“最可能发生的结果”，我这个几何期望的概念，就是考虑到风险因素，最可能产生的结果。
当然，这个概念在cash游戏中其实用处不是很明显，但是我觉得在MTT中有很大意义。
根据这个理论，只要有可能导致你破产的投资方案，无论代数期望多大，几何期望均为0。
举一个极端点的例子：
某投资方案，10%的可能获得100倍利润，90%的可能损失100%。这种方案连续投资两次的概率分布为：两次都成功，1/100的概率获利10000倍，其他所有可能，最后收益均为0。
从代数期望上看，这个方案是有利可图的，而且是大大的有利可图的，其EV为100，但是这个并不是说你投入100块钱，就可以获得10000的，而实际情况是，只有当你可以重复这个投资次数足够多时，才可以达到这个EV。代数期望是分析投资方案的结果分布情况，而几何期望则是不管结果，只分析这个投资方案本身带给你的影响。

其实有些东西我也没想的很透，所以解释的不够清楚，但是这个概念应该是没问题的

回复 3# monox0
回答一下你之前的问题，方案A的优化结果为：
每次用x的资金投资，方案A的几何期望为(1+x/2)^（2/3）*(1-x/2)^（1/3），求导或拉EXCEL解得x=2/3，取最大值，即每次用2/3的资金进行A投资可以获得最大收益。

方案B的优化结果为：
(1+x/10)^0.9*(1-x/10)^0.1，解得x=9.75时取到最大值，也就是说对方案B，你应該找人借钱，用9.75倍的本金进行投资！

按照我这个理论，只要可能导致你破产的投资，几何期望均为零。当然并不是说几何期望为零就不能投资，只是在几何期望与代数期望发生背离的时候，要慎重进行决策，而几何期望与代数期望均为正的时候，决策更有而已。

如果是MTT选手，在一场比赛中一定会面临相同EV但是对手不同的决策问题，有了几何期望的概念以后，更容易在这种情况下做出更好的选择。
比如说，简化一下情况，你的筹码量在MTT大概排在top 20%，不存在翻倍或是淘汰的压力。大家都亮着牌打，你手里是AKo，你挑一个人拿JQo推你。目前有几个选手可选。
A的筹码量是你的1/5
B的筹码量是你的1/4
C的筹码量是你的1/2
D的筹码量高于你

其实这正是我们在MTT中BN位置附近经常遇到的情况，时候你如何选择？
AK面对JQ，胜率63%左右（没用poker stove算，我大概估计的）
从EV角度来看，EV都为正，都可以call。
在这种MTT中，ICM分析难度较大，一般都要事后分析。
而从几何期望角度分析，就相对容易一些，假设对手的筹码量是你的x倍。63%胜率的期望为(1+x)^0.63*(1-x)^0.37，当x<1/2时，几何期望均为正，而x=0.26时取最大值，所以从几何期望角度考虑B方案最好。

monox0的21楼是正解，我也看不懂楼主原文的公式。

综合楼主1楼和22楼，我猜他可能是想表达有破产风险时如何决定一系列最佳下注大小的东东。类似Kelly criterion的。Kelly criterion是Blackjack算牌手的bankroll管理法宝。可是楼主举的几个例子都似乎不太合适，好像没说明自己的意思

回复 24# Howard
额，大牛出现了。
我确实也觉得举的例子不太合适，而且有些想法还没有清晰的提炼出来，但是我认为我这个想法应该是有些意义的，虽然到底有什么意义现在还没有想的很清楚。
如果howard有时间的话，可不可以也帮着想想这个问题，我提出的这个理论究竟有没有实际的价值。

我的理解：
EV(X)=SUM(Wi*Xi)/SUM(Wi) ，就是加权平均, Wi:权重 。
几何EV(X)=EXP( SUM(Wi*log(Xi))/SUM(Wi)), 就是在对数上加权平均。
直观的说就是：我这把-50%，下把+100% 才能会来。 所以1/2 stack 要2：1odss才值。
我以前想过类似的问题(股市)，这说明了投资要分散风险。 不过LZ用在MTT上不太合适。 如果ICM的假设是对的，LZ要考虑的就已经包括了。

回复 26# donot


   

所以1/2 stack 要2：1odss才值

没说清楚。 应该是coin flip时, 如果输是-1/2 stack， 赢得有+1stack才值。

同意 Howard... LZ 讨论的似乎是Kelly criterion 关联的东西，即如何在一定资产下确保资产增长最大化... 但这不是1次2次可以体现的结果... 可能是100次或者1000次，但实际上，即便按照你的最佳理论，还是很容易破产的，举个例子， 比如我有99%的把握赢100，或者1%的把握输100，按你的算法可能要把几乎全部财产拿去赌，可万一是1%，就几乎等于破产了，破产的风险在1-99%^n~  n%(n为游戏次数)

你举的那个ABCD的例子。。。  看似好比 是一个desicion to make ，可是请问我们每次遇到的情况，哪一次是可以在这ABCD这4个选项中选择的呢？  每一次都是一个特定的值吧。另外如果小筹码计算出来每次都是0,那还玩什么呢... 大家都依靠这个策略，应该所有人都在第一轮all in, 因为第二轮开始，他们的几何期望=0 ;lol