關於代數期望與幾何期望

墻老是強調自己數學功底不行，但同時又自曝過自己研究過撲克概率，同時算起來EV什麽的那是一套一套啊，不過有一個概念，墻和風暴都沒有說清楚，而且如果不懂這個概念的話，對一些急於求成的新手會造成很大的傷害，這個概念就是關於EV的兩個概念，代數期望和幾何期望。

目前我们面前有两种月投资模式如下:
第一种，2/3概率获利50％，1/3概率损失50%;
第二种，90%概率获利10％，10％概率损失10％；
問你選那一種。

這時，我們就分析了
方案A的期望為
2/3*1.5+1/3*0.5=1.17
方案B的期望為
0.9*1.1+0.1*0.9=1.08
方案A的EV優於方案B，但是方案B的風險小，有些膽小的玩家選B，這時候就有人說了，高手都選A，你們選B的都註定成不了高手，於是兩邊開始掐了，最後誰也說服不了誰，墻貌似是A派的。

其實A與B是各有優劣的，我們要面對的，是在不同情況下如何選擇。

墻當時的選擇是，我每次都選A，這樣時間長了我一定能比每次選B的獲利更多。這裡，墻就已經偷偷的加上了一個原來沒有的條件，即每次都選。
那麼如果換一下，讓你用全部的家當進行這樣一次選擇，你選什麽？
可能你還是選A，因為這樣的期望最大嗎，那麼我再加上一次，你必須要面臨兩次這樣的選擇，你又怎麼選？你可能說我兩次都選A，呵呵，上當了。
簡單的計算一下，連續選擇兩次方案A，其期望就變成了(1.5)^(4/3)*(0.5)^(2/3)=1.082,而方案B則是1.1^1.8*0.9^0.2=1.162。這就是EV的代數期望與幾何期望的區別。
代數期望遵守大数定律，當一次實驗重複足夠多的時候無窮接近棄代數期望。而幾何期望，則是考慮到風險因素，對“率”的增長的一個期望，當你每次拿全部的資產進行重複投資時，則一定會選擇方案B。
二者的區別為：
如果規定，你只能拿30塊錢投資，那麼我把30塊拆成1000份，投資A一千次，而如果規定我能投資30次，那麼我一定選擇方案B，每次用100%的資金投。就算選擇方案A，我每次用2/3的資金投資，也比你每次用100%的資金投資好。
其實引申一下，這也就說明了BR的重要性，只有當你的BR足夠的時候，才可以不斷的選擇EV最高的方案。而那種不斷拿著自己全部BR往上升級的玩家，則只能任其吞聲的選擇方案B。

有一點，只要對手的籌碼量高於你，無論你手持什麽牌，你接對方allin的幾何期望均為零，這也是我們在MTT中必須要尊重大籌碼的一個重要原因。另外，早期如果可以積累足夠的籌碼優勢，在錦標賽中後期，不斷用這種微弱的優勢，接籌碼量遠遠小於你的選手的allin，可以讓你積累巨大的優勢，大家以後不要再抱怨自己的AK push被大籌碼的22,33幹掉，要知道，如果你的籌碼不足對手的20%，對手這樣接，無論是EV還是幾何期望，都有理由call你的。
例子，在錦標賽中期，你在BB拿到JJ，一個數據為9/7的UTG+2直接allin，其他人棄牌到你，你如何決策。

從牌面上分析，對手9/7的range，7%的加注牌包括，AA-77，AKs-AJs，AKo-AQo，因為你手裡有JJ，所以對手總共有77種組合，其中AA-QQ有18種（勝率20%），JJ一種（勝率50%），TT-77有24種（勝率80%），AKo-AQo有24種（勝率55%），AKs- AQs有8種（勝率55%），AJs兩種（勝率80%）。綜合來看，你的勝率是18/77*20%+32/77*55%+1/77*50%+26 /77*80%=55.2%，你call的EV為正，你應該call。

而如果考慮到出局的風險，就要根據對手的籌碼進行決策。假設對手的籌碼為x，則你的幾何期望為：
(1+x)^0.55*(1-x）^0.45，經過計算，解得x=0.1時取到最大值，幾何期望為1.005.而對手的籌碼與你越接近，你的幾何期望就越低。也就是說，如果考慮到生存因素，當對手的籌碼量大於你籌碼量的20%時，你在這種情況下call牌就是錯誤的選擇，當對手的籌碼量是你的80%時，你的幾何期望只有可憐的0.67，當你不是面臨搏命選擇，或是贏了這盤就可以成為CL，參與這種賭局，從長遠來看是會讓你實力受損的。（此處肯定會有人看不懂，試著看懂結論就可以）

當然，如果你拿到的是QQ，那麼勝率就變成了65%，如果對手的籌碼量是你的30%，你的幾何平均期望最大，而跟籌碼量在你56%以下的對手的allin幾何期望均為正。如果你手持AA，兩個數值分別為56%和87%。

繁体字看的好难受啊。哎。

你只需要算一个ROR ，在合理小的范围，当然选max EV的情况，你怎么没本事把A与B的diff 弄得再小点...

再仔细看了一下，你讨论的例子根本没实际价值，谁会玩扑克一手牌拿全部资产。。。 即便你90%获利10%，最佳资金增长也不是100%投资，只要有破产风险，都不可能是100%投资。 什么代数期望几何期望玄乎乎的哦。

打巡回赛，就基本等同于拿全部资产来玩。因为输光了就出局了

楼主解答了一个一直隐隐约约在我心里的问题，自己就是琢磨不明白的，感谢

另外，有很多软件提供繁简转换功能的，不妨试试？

回复 2# ggyy1414

怎么大家习惯读英文，就不习惯读繁体呢。好吧，换成简体好了……

我觉得非常有意义啊！
这解释了在MTT中为什么很多时候得扔掉AK、QQ这样的牌。
我原来想，扔掉是不是自己不够胆呢？或者call了更好？现在明白了，扔得好！以后接着扔！
越来越认为比赛中筹码是最重要的一个因素了。

回复 1# funnyface

关于MTT 中后期的论述还是很深入浅出的。我举一个实战的例子。

昨天我打一个90 MTT, 12人钱圈。在FT 之前我只记得AI showdown了三次，两次 AA，一次 K 花在有A 花面慢打遇上对手冤家小同花。

FT 我开始很紧，后来发现一桌子紧弱，一点都不夸张。比如说，有个对手拿77在AKx board pot 3000+的情况下，lead bet 800，3次！

于是我就改变策略疯狂偷盲，value bet 通常 over bet 一点，当然运气还持续，一次JQs遇见 67s，flop 89T.....

结果剩6个人的时候，我是第二名的3倍还多。

然后，我基本每把3bb进，遇到 reraise AI 就 fold (AQ+ 除外)，遇到 mini reraise 就lead AI。最后一小时打得一点悬念都没有，就是点按钮，这里夸张了些，但基本真就那样。

期间一个小筹码在我这里翻倍了两次，可还是没辙。我想这个帖子很恰当的说明了原因，其实我在仔细读了这个贴子之前，也不明白其中的道理，恩。

回复 3# monox0
这个问题以前我也是跟你想的差不多的，但是在想过这个几何期望以后，就意识到这是一个非常重要的问题。
谁会拿自己全部的资产进行投资？有两种人，一种是不断的拿自己的全部资产进行投资的，另一种是特定的赌局，每一个人最开始的筹码量有限，只能增加（addon）但是不能减少的，也就是SNG和MTT。我所提出的几何期望，就是考虑在这种情况下，如何实现最优决策的。

墙由于打的主要是cash，所以对这个问题研究的不多，但是他之前的文章里面，也探讨过这些问题了，不过没有提炼出理论化的模型，没有再深一步而已。
墙一边讲，浅筹码对深筹码有着天然的优势，但同时又说深筹码是德州的全部，二者矛盾不矛盾？其实不是的。
如果可以让我按我自己的规矩玩德州，是有必胜的方法的，就是在对手不做调整的情况下带0.1BB上桌，只用前15%的牌参与多人牌局，输了就再拿0.1BB，赢了就把钱收回去，拿出0.1BB。另一种带无限的钱上桌，每次开牌前拿任意牌allin。前者就是代数期望的极致，后者就是几何期望的极致。

另外，根据二叉树模型，可以将你用部分资产的投资，等价成你全部资产的投资。在MTT中，同样一个赌局，对于超大筹码就是方案B，而对于中等筹码可能就是方案A，对于小筹码可能就是有完全破产风险的方案C。重复30次这样的投资，超大筹码可以翻到9.56倍，而中筹码只能翻到3.24倍，小筹码的几何期望就是破产。
这也一样可以用于现金游戏，你的BR越大，同样+EV的方案，几何期望就越高。

楼主花了很长时间写这个帖子，道一句：辛苦！（是真心说的，没有别的意思）

不过从楼上几位跟贴来看，我不得不冒昧出来对帖子提一些异议。我不希望论坛的朋友过分地按这个思路去想，因为这个帖子过于简化和武断。还望见谅。

我尽量简单说一下。MTT中后期小筹码尽量回避大筹码，原因是筹码的价值和实际价值的分离，如果定量分析是一定要引入奖金的分布情况的。其实如果是双方各有50%的胜率，不考虑死钱，双方都是吃亏的。不仅仅是小筹码吃亏，大筹码也吃亏。那么谁赚便宜了？除冲突之外的所有玩家。小筹码要回避大筹码是因为小筹码更吃亏而已。

其他还有一些地方不一一列举。关于BR管理和MTT中筹码面值和实际价值的分离，论坛有很多讨论。如果不愿意搜索，可以参看《扑士》杂志的相关文章。