概率趣题之换信封

说有桌上有俩信封，里面装着钱。其中一个信封里的钱是另一个的2倍。
你先挑一个。


挑完以后问你，你要不要换成另一个？

这时候你就开始算了：
假设我拿到的信封钱数是A，桌上那个是钱数B
则A>B 和B>A是五五开
那么，B里面或者有2A，或者A/2

如果换了，我就会有一半机会变成2A，一半机会变成A/2
平均下来会变成 50% * 2A + 50% * A/2 = 1.25A

肯定得换啊

但转念又一想，我随便挑一个，怎么就不如剩下那个呢？
再者说了，换成B，用同样的推理，得知A = 1.25B

这咋整

选厚的那一个。

好了，不开玩笑。问题出在A不是个常量，
50% * 2A + 50% * A/2 = 1.25A
里面，头一个A是1的话，第二个A是2， 换了EV算出来是1.5；
不换的话，50%*1 + 50%*2， 不换EV还是1.5.  

吹牛无罪 发表于 2016-12-14 18:14
选厚的那一个。

好了，不开玩笑。问题出在A不是个常量，

厚的信封里面的钞票每张面值1$，薄的信封里面的钞票的面值100$。
我认为最佳方案是两个都要。
第二个方案不换。因为换不换都一样，换受累。

信封悖论。以下转自知乎:

注意概率密度只要f(x)=f(2x)就行，不用是均匀分布。

第一步就是错的。信封放的钱是个随机变量(我们假设这个变量是连续型随机变量)，我们要考虑其概率密度。比如你打开第一个信封看到了100块，你还假设另一个信封有50%概率有50块，50%概率有200块。那么你就假设了，（50，100）的组合和（100，200）的组合有相同的概率（概率密度）。所以钱少的那个信封包含钱数（以下记作M）的概率密度f(x)满足f(x)=f(2x).假设1<M<2的概率是P，那么2<M<4的概率就是2P（这个概率就是f(x)在2到4上积分），4<M<8的概率是4P。如此一来，1/2^n<M<2^n的概率就是(2^n-1/2^n)P. 如果P大于0，那么当n足够大的时候，这个概率大于1，矛盾。所以P是0。进一步根据概率的连续性（其实就是可列可加性），因为1/2^n<M<2^n的概率是0，令n趋于无穷，得到M>0的概率为0. 所以说，唯一的可能就是两个信封都没钱。
离散变量也是一样的道理，如果钱少的信封以正概率P为某个值x，那么也要以相同的概率P取2x,4x,8x,16x...于是总概率大于一，矛盾。
奇异型随机变量不太好描述这个问题。
要不然，就是前面加粗的假设错了，打开一个信封看到100块，不能说明另一个信封各有50%的概率有50块和200块。

其实好多所谓概率悖论都是样本空间和概率分布没想清楚。

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概率有可列可加性，可列个不交集合A_i的并的概率等于概率的和的极限。. 所以可数无穷集（比如自然数集）和无穷区间（比如正实数集）上都没有均匀分布。
假设自然数集上有均匀分布，设每个自然数的概率都是P。如果P大于零，那么取[1/P]+1个自然数，它们的概率之和大于1，矛盾。于是P=0。此时，所有自然数的概率是每个的概率的和，还是0，矛盾。
正实数集同理，设(0,1]的概率是P，如果P>0，总概率大于1；如果P=0，总概率为0，都是矛盾。

最佳方案是打开看了以后拿少的那个

那以后还会有人拿同样的钱来测试你

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斑竹删掉就好