概率趣题之百囚抓号

老陈 发表于 2016-12-11 06:54
补充一下之前的答案。
一号囚犯    第一次开一号抽屉，几号纸条开几号抽屉，一次类推，开到50次为止
二号 ...

上面说法不成立。
1号抽屉里号码是3；
2号抽屉里号码是1；
3号抽屉里号码是2。

陈老师说的这个情况，一号直接就枪毙了。
无论哪种策略，一号囚犯抽到1号纸条的概率永远是1/2，1好50%的失败概率是无法避免的。
这个策略的目的不是将成功率提高到100%（这是不可能的),而是尽可能的提高成功率。

老霍说规则规定没抽到暂时不枪毙，等一百人抽完一起枪毙....
我的策略完全错误。

Jimihandrix 发表于 2016-12-10 17:37
老霍说规则规定没抽到暂时不枪毙，等一百人抽完一起枪毙....
我的策略完全错误。 ...

谢谢不枪毙我！规则不明确，害你浪费那么多时间。回头有电脑了我把楼主贴改一下

Jimihandrix 发表于 2016-12-11 09:37
老霍说规则规定没抽到暂时不枪毙，等一百人抽完一起枪毙....
我的策略完全错误。 ...

我觉得并不是完全错误，是一个好的思路。即使信息不能传递，你的方法也是一种避免重复开箱的好思路。具体的计算倒不一定简单。

老陈 发表于 2016-12-11 08:28
如果四个囚徒，一号打开1 2，二号打开 2 3，三号打开 3 4， 四号打开 4 1
用我的思路把顺序重新摆过
一号 ...

我修改了一下。

六个囚犯的，还有得算。但是如果六个的出来了，应该能归纳一下。

至于我这个思路和另外一个Jimi 的思路，哪个能提高生存概率更多，还真不好说。

换了一下思路，沿用我之前的那个思路，换一个数学描述，也许会方便计算（也许不会）。

数字1-100，随机分布在编号为 #1 -#100 的坑里
加49个编号为#101-#149的坑，让#101坑里的数字等于#1坑里的数字...#149坑里的数字等于#49坑里的数字。

现在开始有100映射集合，每个集合的大小是50，$1 = {#1 - #50}，...... $100 = {#100 - #149}

问题变了，在这100个映射集合里，每个集合 $X 中，都包含数字 X 的概率是多少？

这和Pizza划分的方法，略有不同。

把pizza的思路再整理一下，觉得很容易和归纳法结合起来。

一个圆，均匀地分成1-100个扇形。一百个球随机地落入这个圆的扇形区域中。

第一个球Q1 下落，把圆分成两半1-50，51-100，Q1正好落入1-51这个半圆的几率为50/100
第二球 Q2 落入51-100这个半圆的几率为 50/99

然后划分半圆的直径转动一个扇形区域
Q3 落入 2-51 区域
Q4 落入 52 -100，1 这个区域

由于有了Q1和Q2，几率会稍微有点改变

maomaobiao 发表于 2016-12-11 11:38
把pizza的思路再整理一下，觉得很容易和归纳法结合起来。

一个圆，均匀地分成1-100个扇形。一百个球随机地 ...

举例简化成一个分成四块的pizza

第一个球落入指定区域的几率为2/4
在此基础上，第二个球落入对面的几率为2/3
转动一下
第三个球要target的区域存在的情况为：
全空 (两个combo)，则意味对面全满，Q4无法落入指定区域，0
一个空位(两个combo)，则意味对面有一个空位，Q3落入指定区域的概率为1/2
全满，同全空。

于是三个球都落入指定位置的概率为2/4*2/3*1/2 * (1/2)注：括号里的1/2是指的对应的combo的情况（2 out of 4)

Q4只能落入剩下的区域。概率同上，则结果和前面计算的结果一样

已经在楼主贴补充了一些信息，避免误解。

如果使用pizza的思路：
两个囚犯逃脱的几率是1/2 （对比完全随机的1/4）
四个囚犯逃脱的几率是2/4 * 2/3 * 1/2 *（1/2）
六个囚犯逃脱的几率是3/6 * 3/5 * 2/4 * 2/3 * 1/2 * （ 8/9 * 10/16）