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楼主: Howard
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概率趣题之百囚抓号

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11#
 楼主| Howard 发表于 2016-12-9 12:06:10 来自手机 | 只看该作者
maomaobiao 发表于 2016-12-8 21:37
这个思路算传递信息么?

1号开1—50号箱子

这也算传递信息。为避免此类事发生,可规定100囚犯全部玩过一遍之后再统计结果
12#
maomaobiao 发表于 2016-12-9 13:31:05 | 只看该作者
Howard 发表于 2016-12-9 14:06
这也算传递信息。为避免此类事发生,可规定100囚犯全部玩过一遍之后再统计结果 ...

明白了,就是排除一切建立关联的方法
13#
maomaobiao 发表于 2016-12-9 13:35:04 | 只看该作者
先猜个答案,思路回头补上

逃脱的概率增加到50^100/(100^50 * 99^50)
14#
老陈 发表于 2016-12-9 15:10:57 来自手机 | 只看该作者
本帖最后由 老陈 于 2016-12-9 01:16 编辑

如果不是找号码,是猜硬币正反面,情况于此类似。
如果100个囚犯没有策略地猜,那么全部猜对了概率也是千亿亿亿分之一。如果所有囚犯都猜正面,那么他们活下来的概率就是1/2。
上一段是霍爷给我的提示。

霍爷的题目与此有相似之处,如果使用一个策略使每个囚犯找号码的方法不完全独立,就有可能提高全部找对的概率。我根据霍爷的提示找到了一个比较好的策略,如果这些囚徒按我的方法去找自己的号码,他们全部找对的概率大于30%。
15#
昆仑苍狼 发表于 2016-12-9 16:05:20 | 只看该作者
本帖最后由 昆仑苍狼 于 2016-12-9 16:07 编辑

30%??!!

坐等赐教

第一个囚犯走过去  就只剩50%了。。。

16#
snowsnow 发表于 2016-12-9 16:41:24 | 只看该作者
本帖最后由 snowsnow 于 2016-12-9 20:45 编辑

(1/2)^100 = 7.89E-31

..................................
7.89E-31 ~=1E-30.
好像是百万亿亿亿分之一?

17#
maomaobiao 发表于 2016-12-9 21:07:23 | 只看该作者
本帖最后由 maomaobiao 于 2016-12-10 06:46 编辑

我的思路是这样的,也是要想办法让每个囚徒的选择建立关联。

1. 如果一个囚徒选择了1-50,另外一个选择了51-100,则这时候逃脱的概率就不是简单的1/2 * 1/2了,而是50/100 * 50/99
由这个思路,我想到如果第三个囚徒选所有单数,第四个囚徒选所有偶数,同样,他们两人同时逃脱的几率也是50/100 * 50/99

2. 另外一个思路是,把一个靶子设为1/100等分的披萨形状,100个囚徒一共选择了100*50次,相当于朝这个靶子一共开了100*50次枪,直觉告诉我们要让这么多枪均匀地分布在靶面上,才能有效的覆盖每一个1/100的扇形区域,从而增加每个区域被击中的几率。那么最好是朝每个扇形区域开了50枪。

3. 结合1和2,最优的方法是

囚徒 1   选择 1-50; 囚徒 2  选择 51-100
囚徒 3   选择 2-51; 囚徒 4  选择 52-100,1
囚徒 5   选择 3-52; 囚徒 6  选择 53-100,1-2
.......
囚徒 99  选择 50-99;囚徒100 选择 100,1-49

选择的区域可以想象一条通过靶心的直线朝一个方向每次位移一格,两个囚徒各选这条直线两边的半圆。

4. 简单的关联,就是 (50/100 * 50/99)^50 的概率逃脱。但是,我发现这样其实可以把1,3, 5....也关联起来。具体没想好怎么算。
18#
老陈 发表于 2016-12-10 02:24:19 来自手机 | 只看该作者
昆仑苍狼 发表于 2016-12-9 02:05
30%??!!

坐等赐教


如果后面还有很多囚犯是否找到自己号码与一号囚犯相同,就有可能许多囚犯找完后概率没有发生变化,还是50%。那他们的处境就改善了许多。
19#
 楼主| Howard 发表于 2016-12-10 06:41:13 | 只看该作者
maomaobiao 发表于 2016-12-9 07:07
我的思路是这样的,也是要想办法让每个囚徒的选择建立关联。

1. 如果一个囚徒选择了1-50,另外一个选择了5 ...
如果一个囚徒选择了1-50,另外一个选择了51-100,则这时候逃脱的概率就不是简单的1/2 * 1/2了,而是50/100 * 50/99


这个结论似乎不对。应该还是50/100 × 50/100,也就是1/4。

从宏观角度来看,1-50号抽屉里面有没有1,跟51-100号抽屉里面有没有2,是独立事件,概率都是1/2。

从微观角度细抠,2号囚犯在51-100号抽屉里找2,可以分两种情况:
1、1号囚犯在1-50里面找到了1 (50/100):
    此时2号囚犯在51-100号抽屉里找到2的概率是50/99 (已经打开的那一个抽屉就不算分母了,只有99个未知抽屉,丫打开50个)
2、1号囚犯在1-50里面没有找到1 (50/100):
   此时2号囚犯在51-100号抽屉里找到2的概率是49/99 (51-100里面必然有个1,是个废抽屉,不再计算,所以总共99个未知抽屉丫打开49个)

所以二号囚犯的总体成功率是 50/100 × 50/99 + 50/100 × 49/99 = 50/100
20#
snowsnow 发表于 2016-12-10 07:07:07 | 只看该作者
如果100个囚犯没有策略地猜,那么全部猜对了概率是千亿亿亿分之一。
-----------------------------------------------------------------------------------------------
答案想不出。
不过100个囚犯没有策略地猜,那么全部猜对了概率是百万亿亿亿分之一。

100,000,000 = 10^8.
亿亿亿 = 10^24.
10^30 应该是 百万亿亿亿
机会还小1000倍。
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