概率趣题之百囚抓号

maomaobiao 发表于 2016-12-8 21:37
这个思路算传递信息么？

1号开1—50号箱子

这也算传递信息。为避免此类事发生，可规定100囚犯全部玩过一遍之后再统计结果

Howard 发表于 2016-12-9 14:06
这也算传递信息。为避免此类事发生，可规定100囚犯全部玩过一遍之后再统计结果 ...

明白了，就是排除一切建立关联的方法

先猜个答案，思路回头补上

逃脱的概率增加到50^100/（100^50 * 99^50）

如果不是找号码，是猜硬币正反面，情况于此类似。
如果100个囚犯没有策略地猜，那么全部猜对了概率也是千亿亿亿分之一。如果所有囚犯都猜正面，那么他们活下来的概率就是1/2。
上一段是霍爷给我的提示。

霍爷的题目与此有相似之处，如果使用一个策略使每个囚犯找号码的方法不完全独立，就有可能提高全部找对的概率。我根据霍爷的提示找到了一个比较好的策略，如果这些囚徒按我的方法去找自己的号码，他们全部找对的概率大于30%。

30%？？！！

坐等赐教

第一个囚犯走过去  就只剩50%了。。。

(1/2）^100 = 7.89E-31

..................................
7.89E-31 ~=1E-30.
好像是百万亿亿亿分之一？

我的思路是这样的，也是要想办法让每个囚徒的选择建立关联。

1. 如果一个囚徒选择了1-50，另外一个选择了51-100，则这时候逃脱的概率就不是简单的1/2 * 1/2了，而是50/100 * 50/99
由这个思路，我想到如果第三个囚徒选所有单数，第四个囚徒选所有偶数，同样，他们两人同时逃脱的几率也是50/100 * 50/99

2. 另外一个思路是，把一个靶子设为1/100等分的披萨形状，100个囚徒一共选择了100*50次，相当于朝这个靶子一共开了100*50次枪，直觉告诉我们要让这么多枪均匀地分布在靶面上，才能有效的覆盖每一个1/100的扇形区域，从而增加每个区域被击中的几率。那么最好是朝每个扇形区域开了50枪。

3. 结合1和2，最优的方法是

囚徒 1   选择 1-50； 囚徒 2  选择 51-100
囚徒 3   选择 2-51； 囚徒 4  选择 52-100，1
囚徒 5   选择 3-52； 囚徒 6  选择 53-100，1-2
.......
囚徒 99  选择 50-99；囚徒100 选择 100，1-49

选择的区域可以想象一条通过靶心的直线朝一个方向每次位移一格，两个囚徒各选这条直线两边的半圆。

4. 简单的关联，就是 （50/100 * 50/99）^50 的概率逃脱。但是，我发现这样其实可以把1，3， 5....也关联起来。具体没想好怎么算。

昆仑苍狼 发表于 2016-12-9 02:05
30%？？！！

坐等赐教

如果后面还有很多囚犯是否找到自己号码与一号囚犯相同，就有可能许多囚犯找完后概率没有发生变化，还是50%。那他们的处境就改善了许多。

maomaobiao 发表于 2016-12-9 07:07
我的思路是这样的，也是要想办法让每个囚徒的选择建立关联。

1. 如果一个囚徒选择了1-50，另外一个选择了5 ...

如果一个囚徒选择了1-50，另外一个选择了51-100，则这时候逃脱的概率就不是简单的1/2 * 1/2了，而是50/100 * 50/99

这个结论似乎不对。应该还是50/100 × 50/100，也就是1/4。

从宏观角度来看，1-50号抽屉里面有没有1，跟51-100号抽屉里面有没有2，是独立事件，概率都是1/2。

从微观角度细抠，2号囚犯在51-100号抽屉里找2，可以分两种情况：
1、1号囚犯在1-50里面找到了1 （50/100）：
    此时2号囚犯在51-100号抽屉里找到2的概率是50/99 （已经打开的那一个抽屉就不算分母了，只有99个未知抽屉，丫打开50个）
2、1号囚犯在1-50里面没有找到1 （50/100）：
   此时2号囚犯在51-100号抽屉里找到2的概率是49/99 （51-100里面必然有个1，是个废抽屉，不再计算，所以总共99个未知抽屉丫打开49个）

所以二号囚犯的总体成功率是 50/100 × 50/99 + 50/100 × 49/99 = 50/100

如果100个囚犯没有策略地猜，那么全部猜对了概率是千亿亿亿分之一。
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答案想不出。
不过100个囚犯没有策略地猜，那么全部猜对了概率是百万亿亿亿分之一。

100,000,000 = 10^8.
亿亿亿 = 10^24.
10^30 应该是 百万亿亿亿
机会还小1000倍。