一道著名的悖论题

这个题目原型是“圣彼得堡悖论”，维基百科上是这样描述的：

1730年代，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉·伯努利提出一个谜题：掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？

这个游戏的期望值是正无穷是没有问题的。人们不愿意花太多钱玩，也是正常的。比如，你叫他花25块钱，都很少有人玩。

丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在1738年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：

   1. 边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
   2. 最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。

对咱们赌徒来说，他说的有点扯淡，没说到点子上。具体该怎么分析，我另起篇文章

虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个赌场或个人提出这样一个游戏，他一定是骗人的，因为他不可能付出正无穷的钱。

如果赌场（Banker）的钱是有限的，那么即使世界上最有钱的赌场开这个游戏，玩家期望值也是非常有限的。因为这个期望值跟Banker的最大支付能力成对数增长关系。假设Banker最大支付能力是W，那么

Banker                        Bankroll                        Expected value of lottery
Friendly game                $100                        $4.28
Millionaire                        $1,000,000                 $10.95
Billionaire                 $1,000,000,000         $15.93
Bill Gates (2008)         $58,000,000,000         $18.84
U.S. GDP (2007)         $13.8 trillion                 $22.79
World GDP (2007)         $54.3 trillion                 $23.77
Googolaire                 $10^100                         $166.50

让比尔盖茨做东，期望值才是可怜的18块钱，难怪人们不愿意玩。

这个游戏还有独特之处。那就是多次玩这个游戏的EV比只玩一次的EV要大。假设只玩一次的EV是E1，玩n次的EV是En，那么

En = E1 + 1/2 Log2（n）

E1已经是正无穷，En当然也是正无穷，只不过是比E1还大一点点的正无穷。

计算机模拟显示，平均每次EV随着玩的次数增加的变化趋势是：



确实是逐渐增大的，只不过增大的非常缓慢。

这里的EV，就是一条无限接近Y轴且平行于Y轴的直线所覆盖的面积。你可以说他无穷大，但是没什么意义。

这就好比：

要是回答你最初的问题，我愿意拿出多少钱来玩这个游戏？

在每次回到起点的时候，我总是用我手头现有bankroll的50%来玩。我肯定不会破产。

我又仔细读了原贴。 也许我的理解和楼主不同，所以澄清一下这是我的理解：

“假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小 (但是你得下注) ，如果你大，则你得到1块钱，这手牌结束；

如果庄大，继续发第二次，(但是你得下注x2)
     这次如果你大，得到2块钱，这手牌结束
     如果还是庄大，继续发第三次，(但是你得下注x4)
         如果你大，得到4块钱，这手牌结束；
         如果庄大，继续发第四次。。。

以此类推，每次你可能得到的钱都比上次翻倍。假设牌永远发不完。“

如果不这么理解，这个问题没什么意义。  下面证明了下注$1 EV=0。 (我假设上面的钱数是下注以外从庄家赢的数。 这样数整，好写。)

回复 31# Howard

"这个游戏的期望值是正无穷是没有问题的。"
这是不对的。 matlab是不必要的，而且算地不对。 大家看来没读我的回贴，也许我没说清楚。 看看这回是不是能讲地明白些。

bank roll=$1 (more accurately: $1<=br<$3)
If you lose (1/2 probability), game over (no money to continue). -$1
If you win (1/2), game over. +$1
EV=-1/2+1/2=0
当然如果你赢了,你可以从头玩。 但EV还是“0”。

bank roll=$3
You lose 2 hands (1/4), game over. -$3
You win the first hand or lose the first and win the second (3/4), game over: +$1
EV=-3*1/4+3/4=0

2^n-1<=bank roll<2^(n+1)-1 (最多可以连输"n"手，才没钱继续)
EV=-(2^n-1)/2^n+1/2+1/4+...+1/2^n=0

EV=0, while n-> infinity

Howard 原贴的公式少了一项。 这里涉及了极限中一个易错的地方： 无穷大*无穷小=？ 希望讲明白了。

我又仔细读了原贴。 也许我的理解和楼主不同，所以澄清一下这是我的理解：

“假如赌场新推出一个游戏，你 ...
donot 发表于 2010-12-11 08:58

    所有你标注红字的“你需要下注”的地方均不用下注。赌场纯给钱，呵呵。

回复 35# Howard

Have you check the math?

回复 36# donot


"bank roll=$1 (more accurately: $1<=br<$3)
If you lose (1/2 probability), game over (no money to continue). -$1
If you win (1/2), game over. +$1
EV=-1/2+1/2=0"

即使玩家bankroll很小，游戏也可能永不over，只要庄家的牌永远大。玩家不需要每次发牌都下注。

玩家只需要给这个游戏下一个“总代价”，也就似乎“报名费”，不退费。

也就是说，你的bankroll只有1块钱的时候，是有可能赢到1个billion的。只要庄家连大2^30次。然后第31次你大，就是1 billion。

所以庄家的bankroll有意义，玩家的bankroll无意义。

回复 37# Howard

"即使玩家bankroll很小，游戏也可能永不over，只要庄家的牌永远大。玩家不需要每次发牌都下注。"

我们的理解不一样。详见我上面的红字(#34)。 如果玩家不需要每次发牌都不下注，结果是发散的。换句话说，多少钱都值，如果不在乎时间。

回复 1# Howard
"但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？"

严格地说应该是： 无论价格是多少，都值得玩。 (N=正无穷的定义： any "n", N >n)

坐等高人解决