一道著名的悖论题

反正我闲得无聊。好像找到问题了，就是你没说投入，你原文的公式是：

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07

假设每一手buyin是1，那么原来的命题有两个隐藏的条件，玩家不容易注意到。

1： 头两把即使赢了，玩家是打平，不获利
2： 任何时候玩家自己中止，就是输。

什么意思呢？就是看上去后面回报丰厚，但实际上风险大大的，因为投入更多，资金链断裂。我奇怪火花为什么说不考虑bankroll。

就算不考虑bankroll,那我们考虑的就是risk对应的投资回报率。常识是，高风险，高回报，但仔细想想，难道不应该是高风险，高回报率吗？

下面这个图是风险对应的回报率



头两手牌风险控制还可以（接近50%），但是回报竟然是0；然而之后风险陡增，而回报率增长的幅度明显要慢。

以上建立在每看一手牌花1元的基础之上。脑子有点糊涂了，胡乱说的，见笑。

反正我闲得无聊。好像找到问题了，就是你没说投入，你原文的公式是：

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07

    我的原帖可能叙述有些含糊，让你误解了。问题“你愿意花多少钱玩这样一手牌”，其中“一手牌”的定义是直到你被赌场pay out为止，而不是发一次牌。

比如总共发了10次牌，前9次都是庄家大，第10次你大，你得到2^9=512刀。 这10次发牌总共只算1手牌。

所以你的EV公式：
EV = （1-x）*(1/2) + （2-2x）*(1/4) + （4-3x）*(1/8) + ...
不是我想表达的意思，而应该是

EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - x
    = 正无穷 - x
    = 正无穷

sorry for causing misunderstanding.

赌场pay out会包含本金吗？

well it seems too obvious...

我的原帖可能叙述有些含糊，让你误解了。

不是我想表达的意思，而应该是

EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x

Howard 发表于 2010-12-8 03:29

这个公式没问题，后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n （number of cards been dealed） 和 x （buyin） 的函数作图



可以发现大部分EV是负的 （红色的部分）

同一个图，转过来看，注意下面的等高线，从左边数第三条就是分水岭。从什么时候开始呢？当你的Buyin大于1的时候，你就开始在输钱了。

要EV趋向正无穷要满足两个条件

buying趋向于无穷小，n趋向无穷大

回复 1# Howard


    但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？

这个问题问的有问题，得到固定的数，意味着游戏结束，说明这个游戏是有限手的。而正无穷的钱，意味着你始终没有赢，游戏在无限进行中。两者不能放在一起说的吧

这个公式没问题，后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n （numb ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:50

    俗话说软的怕硬的，硬的怕横的，横的怕不要命的，不要命的怕会用Matlab的。猫猫表这个matlab图给的太漂亮了。以前还有个朋友Matlab也很厉害好像叫llyydd，最近不怎么来了，是不是你马甲？

但是我得说一下，EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计。在Expect中，第10轮结束这手牌的确有1/2^9的可能性，而不是0，公式 EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)中的n必须是无穷大，而不能到某一项就截止。若你让n取一个固定值，那么那些1/2，1/4，1/8之类的概率就不应该用。

如果是对事实的统计，用EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)也不合理，因为应该使用2^(n-1)-x作为发了n轮的某一手牌的结果。

回复  Howard


    但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出 ...
idle 发表于 2010-12-8 09:02

    游戏虽然会在有限手结束，但是计算EV却必须考虑无限轮发牌。这么说吧，任意给定一个买入值，无论多么大，你总能期望你长期平均回报是高于买入的，也即，你是盈利的。

EV=0
无穷大不是一个数，而是一个级限，或者说是个“趋势”。 假设“n”是最大允许手数：
n=1, EV=0,
n=2, EV=0,
n=3, EV=0,
....
n=100, EV=0
任何大数“N”， n=N, EV=0
n=无穷大, EV=0

但是我得说一下，EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计。
Howard 发表于 2010-12-9 01:27

没错，概念上是不一样

要转换很简单，积分即可(也可能函数不收敛)。我图中用的Z坐标叫做EV是不对。

我不是马甲

积分的东西我回头做，这个机器上没有MATLAB