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楼主: Howard
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一道著名的悖论题

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21#
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:20:07 | 只看该作者
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-8 02:22 编辑
反正我闲得无聊。好像找到问题了,就是你没说投入,你原文的公式是:

计算:这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07


假设每一手buyin是1,那么原来的命题有两个隐藏的条件,玩家不容易注意到。

1: 头两把即使赢了,玩家是打平,不获利
2: 任何时候玩家自己中止,就是输。

什么意思呢?就是看上去后面回报丰厚,但实际上风险大大的,因为投入更多,资金链断裂。我奇怪火花为什么说不考虑bankroll。

就算不考虑bankroll,那我们考虑的就是risk对应的投资回报率。常识是,高风险,高回报,但仔细想想,难道不应该是高风险,高回报率吗?

下面这个图是风险对应的回报率



头两手牌风险控制还可以(接近50%),但是回报竟然是0;然而之后风险陡增,而回报率增长的幅度明显要慢。

以上建立在每看一手牌花1元的基础之上。脑子有点糊涂了,胡乱说的,见笑。

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x
22#
 楼主| Howard 发表于 2010-12-8 03:29:09 | 只看该作者
反正我闲得无聊。好像找到问题了,就是你没说投入,你原文的公式是:

计算:这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07



    我的原帖可能叙述有些含糊,让你误解了。问题“你愿意花多少钱玩这样一手牌”,其中“一手牌”的定义是直到你被赌场pay out为止,而不是发一次牌。

比如总共发了10次牌,前9次都是庄家大,第10次你大,你得到2^9=512刀。 这10次发牌总共只算1手牌。

所以你的EV公式:
EV = (1-x)*(1/2) + (2-2x)*(1/4) + (4-3x)*(1/8) + ...
不是我想表达的意思,而应该是

EV = (1-x)*(1/2) + (2-x)*(1/4) + (4-x)*(1/8) + ...
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - x
    = 正无穷 - x
    = 正无穷

sorry for causing misunderstanding.
23#
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:16:50 | 只看该作者
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-8 07:18 编辑

赌场pay out会包含本金吗?

well it seems too obvious...
24#
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:50:34 | 只看该作者
我的原帖可能叙述有些含糊,让你误解了。

不是我想表达的意思,而应该是

EV = (1-x)*(1/2) + (2-x)*(1/4) + (4-x)*(1/8) + ...
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x

Howard 发表于 2010-12-8 03:29


这个公式没问题,后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n (number of cards been dealed) 和 x (buyin) 的函数作图



可以发现大部分EV是负的 (红色的部分)

同一个图,转过来看,注意下面的等高线,从左边数第三条就是分水岭。从什么时候开始呢?当你的Buyin大于1的时候,你就开始在输钱了。

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x
25#
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:55:57 | 只看该作者
要EV趋向正无穷要满足两个条件

buying趋向于无穷小,n趋向无穷大
26#
idle 发表于 2010-12-8 09:02:20 | 只看该作者
回复 1# Howard


    但是,无论怎么玩,你得到的只会是一个固定的数,为了这个固定的数,你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢?

这个问题问的有问题,得到固定的数,意味着游戏结束,说明这个游戏是有限手的。而正无穷的钱,意味着你始终没有赢,游戏在无限进行中。两者不能放在一起说的吧
27#
 楼主| Howard 发表于 2010-12-9 01:27:18 | 只看该作者
这个公式没问题,后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n (numb ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:50



    俗话说软的怕硬的,硬的怕横的,横的怕不要命的,不要命的怕会用Matlab的。猫猫表这个matlab图给的太漂亮了。以前还有个朋友Matlab也很厉害好像叫llyydd,最近不怎么来了,是不是你马甲?

但是我得说一下,EV之所以叫EV,因为它是Expected Value,而不是对已经发生的事实的统计。在Expect中,第10轮结束这手牌的确有1/2^9的可能性,而不是0,公式 EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)中的n必须是无穷大,而不能到某一项就截止。若你让n取一个固定值,那么那些1/2,1/4,1/8之类的概率就不应该用。

如果是对事实的统计,用EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)也不合理,因为应该使用2^(n-1)-x作为发了n轮的某一手牌的结果。
28#
 楼主| Howard 发表于 2010-12-9 01:31:06 | 只看该作者
回复  Howard


    但是,无论怎么玩,你得到的只会是一个固定的数,为了这个固定的数,你怎么会愿意拿出 ...
idle 发表于 2010-12-8 09:02



    游戏虽然会在有限手结束,但是计算EV却必须考虑无限轮发牌。这么说吧,任意给定一个买入值,无论多么大,你总能期望你长期平均回报是高于买入的,也即,你是盈利的。
29#
donot 发表于 2010-12-9 03:42:53 | 只看该作者
本帖最后由 donot 于 2010-12-9 03:45 编辑

EV=0
无穷大不是一个数,而是一个级限,或者说是个“趋势”。 假设“n”是最大允许手数:
n=1, EV=0,
n=2, EV=0,
n=3, EV=0,
....
n=100, EV=0
任何大数“N”, n=N, EV=0
n=无穷大, EV=0
30#
maomaobiao 发表于 2010-12-9 05:44:43 | 只看该作者
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-9 05:46 编辑
但是我得说一下,EV之所以叫EV,因为它是Expected Value,而不是对已经发生的事实的统计。
Howard 发表于 2010-12-9 01:27


没错,概念上是不一样

要转换很简单,积分即可(也可能函数不收敛)。我图中用的Z坐标叫做EV是不对。

我不是马甲

积分的东西我回头做,这个机器上没有MATLAB  
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