0127概率题

再看第二种情况P（指定某洞为1球|至少一洞为空）

直接求极为困难，至少我还没有想出好办法。
但是，贝叶斯公司派上了用场。
根据贝叶斯，P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

所以
P（指定某洞为1球|至少一洞为空）
= P （至少一洞为空|指定某洞为一球）× P（指定某洞为一球）/ P（至少一洞为空）

上式有三部分，
第一部分，也就是分子左侧，
P （至少一洞为空|指定某洞为一球）
其实就是剩余69个球在剩余24个洞里不中jackpot的计算，
根据前面积累的知识，这部分是0.76065

第二部分，也就是分子右侧，P（指定某洞为一球）
= 先挑一个球在该洞，再把剩余69个球随便放入24个洞
= 70×24^69 / 25^70
= 0.16745

第三部分，也就是分母，
P（至少一洞为空）
这也就是普通70球25洞不中jackpot的概率，
根据前面积累知识，这部分是0.80326

三部分整合到一起，
P（指定某洞为1球|至少一洞为空）= 0.76065 * 0.16745 / 0.80326 = 0.1586

第二种情况出来了，剩下的四种情况就顺水推舟了

第三种情况
P（指定某洞为2球|至少一洞为空）
=（至少一洞为空|指定某洞为2球）× P（指定某洞为2球）/ P（至少一洞为空）
= P(68球在24洞里不中jackpot) × P（先挑出2球在该洞，剩下68球随意在24洞）/ 0.80326
= 0.77657 × C(70,2)*24^68/25^70   /0.80326
= 0.77657 × 0.24070 / 0.80326
= 0.2327

第四种情况
P（指定某洞为3球|至少一洞为空）
=（至少一洞为空|指定某洞为3球）× P（指定某洞为3球）/ P（至少一洞为空）
= P(67球在24洞里不中jackpot) × P（先挑出3球在该洞，剩下67球随意在24洞）/ 0.80326
= 0.79217 × C(70,3)*24^67/25^70   /0.80326
= 0.79217 × 0.22733 / 0.80326
= 0.2242

第五种情况
P（指定某洞为4球|至少一洞为空）
=（至少一洞为空|指定某洞为4球）× P（指定某洞为4球）/ P（至少一洞为空）
= P(66球在24洞里不中jackpot) × P（先挑出4球在该洞，剩下66球随意在24洞）/ 0.80326
= 0.80742 × C(70,4)*24^66/25^70   /0.80326
= 0.80742 × 0.15866 / 0.80326
= 0.1595

最后一种情况
P（指定某洞为5+球|至少一洞为空）
因为刚才的研究没有破坏对称性
所以它可以用排除法
= 1 - （第一到第五种情况）
= 1- 0.07147 -  0.1586 - 0.2327 - 0.2242 -0.1595
= 0.1535

按照权重，指定的这个洞的收益是

0.07147×0 + 0.1586*0 + 0.2327*40 + 0.2242*80 + 0.1595*140 + 0.1535*200
= 80.27元

因为我们是随便指定的一个洞，根据对称性，其他的洞EV也都是80.27元
所以在不中Jackpot的条件下的总EV就是 80.27*25 = 2007元

比我前面估计的要小一些

Howard 发表于 2016-1-29 03:05
按照权重，指定的这个洞的收益是

0.07147×0 + 0.1586*0 + 0.2327*40 + 0.2242*80 + 0.1595*140 + 0.1535* ...

霍师傅不好意思 我没说明白

球进的一瞬间就给钱了   不是说最后红洞给200
金第二个马上给40 再进第三个再给80
200之后不变


0+40+80+140+200+200+200.......


最好的情况是75球全进一个洞

昆仑苍狼 发表于 2016-1-28 18:10
霍师傅不好意思 我没说明白

球进的一瞬间就给钱了   不是说最后红洞给200

Can't type Chinese now.

P(exact 5 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 5 balls in specific pocket) * P(exact 5 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 65 balls on 24 pocket) * P(70 choose 5 then 25^65) / 0.80326
= 0.82227* 70 choose 5 * 24^65/25^70 / 0.80326
= 0.08932


P(exact 6 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 6 balls in specific pocket) * P(exact 6 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 64 balls on 24 pocket) * P(70 choose 6 then 25^64) / 0.80326
= 0.83668* 70 choose 6 * 24^64/25^70 / 0.80326
= 0.04103



P(exact 7 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 7 balls in specific pocket) * P(exact 7 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 63 balls on 24 pocket) * P(70 choose 7 then 25^63) / 0.80326
= 0.85060* 70 choose 7 * 24^63/25^70 / 0.80326
= 0.01589



P(exact 8 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 8 balls in specific pocket) * P(exact 8 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 62 balls on 24 pocket) * P(70 choose 8 then 25^62) / 0.80326
= 0.86399* 70 choose 8 * 24^62/25^70 / 0.80326
= 0.00530




P(exact 9 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 9 balls in specific pocket) * P(exact 9 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 61 balls on 24 pocket) * P(70 choose 9 then 25^61) / 0.80326
= 0.87681* 70 choose 9 * 24^61/25^70 / 0.80326
= 0.00154



P(exact 10 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 10 balls in specific pocket) * P(exact 10 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 60 balls on 24 pocket) * P(70 choose 10 then 25^60) / 0.80326
= 0.88904* 70 choose 10 * 24^60/25^70 / 0.80326
= 0.00040



11+ balls in one pockets. odds are too small to make any difference.


Now we have the payout table for this pocket:

Balls	Odds	Payout	EV
0	0.07147	0	0
1	0.1586	0	0
2	0.2327	40	9.308
3	0.2242	120	26.904
4	0.1595	260	41.47
5	0.0053	460	2.438
6	0.08932	660	58.9512
7	0.04103	860	35.2858
8	0.01589	1060	16.8434
9	0.00154	1260	1.9404
10	0.0004	1460	0.584
Total:	0.99995		193.7248

So, one pocket has a EV of $193.7248,
25 pockets will have a EV of 193.7248* 25 = $4843

Howard 发表于 2016-1-29 11:18
Can't type Chinese now.

P(exact 5 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)

牛逼牛逼你牛逼

最后一步还是没有明白
可以简单地乘以25么
洞和洞之间相互排斥的关系没有影响么

昆仑苍狼 发表于 2016-1-28 21:37
牛逼牛逼你牛逼

最后一步还是没有明白

排斥关系没有影响，因为我们选择指定一个洞的时候，是随机指定，没有破坏对称性，选择其他洞也是一样的。

举个极端例子，两球两洞，显然A洞2球时，B洞只能0球。

但是我们计算A洞的平均球数时，却可以分成这三部分：
1） 25%的时间，它里面0球
2）50%的时间，它1球
3）25%的时间，它2球

所以他的平均球数为 25%×0+50%×1+25%×2 = 1球

这同样的计算也可以用于B洞，互相之间不矛盾。我们并没有说“A洞2球且B洞2球”之类的话。

Howard 发表于 2016-1-29 22:24
排斥关系没有影响，因为我们选择指定一个洞的时候，是随机指定，没有破坏对称性，选择其他洞也是一样的。 ...

您真是有求必应啊
谢谢霍师傅赐教了
我在研究研究


亲亲

我用excel表计算了一下。结果差不多。
第一行，球洞编号。
第一列，球编号。
第1个球进洞，把这个洞编号为1
已经有n个洞有球，再投一个球，进入没有球的洞，这个洞编号n+1
投进m个球，第n个洞有球的概率：
P(m,n)=P(m-1,n)+(1-P(m-1,n))*P(m-1,n-1)*(25-n+1)/25
用公式在excel里表示。
P(1,1)=1，B2单元格输入1
结果P(70,25)在Z71单元格里显示。

老陈 发表于 2016-10-22 02:36
我用excel表计算了一下。结果差不多。
第一行，球洞编号。
第一列，球编号。

牛逼 数学归纳法