0127概率题

70个球 完全随机的进25个洞
允许一洞多球
那么70个球全进完后 25洞全被进入一球以上的概率是多少
答案19.8%
http://www.zhiyoucheng.co/thread-16866-3-1.html

时间荏苒啊，这一晃快一年过去了，又几把差它了一年
上面问题的升级版

25洞全进的话能得1000刀jacpot 现在对于钻石卡会员有优惠政策 从下面3个option里选一个

1 70球增加为80个球
2 jacpot1000刀 改为2000刀
3 上来免费填上5个洞 （不填死，后续还能进球）

哪个ev高？ 第3个怎么算？
如果ev都和2000刀一样的话 需要几个球or填满几个洞？

这道题非常有意思，先留个名，慢慢再算。

原始的70球25洞，概率是19.68%，奖金 1000元，因此EV是196.8元。

1， 70球增加为80个球

这个问题很简单，依据一年前算70球25洞的思路，可以算出，概率是35.31%
奖金仍然1000元，EV是353.1元，没有翻倍。


2. jackpot1000刀 改为2000刀
这就更简单了，EV = 196.8*2 = 393.6元

关键是第三步

3. 上来免费填死五个洞

洞编号为1-25号。填死的是21-25号。

假设A1 (1为下标) 表示1号洞为空，A2表示2号洞为空，。。。。。 Aj表示第j号洞为空，。。。。A20表示第25号洞为空。
当然我们已知A21-A25是不可能事件，也就是P(A21) = 0, ... P(25) =0

所求概率为 1 - P(A1∪A2∪A3...A20)

Inclusion-Exclusion定理依然成立，
这个定理基本上是说，你要想求一堆东西的并集的发生概率，可以这样做：
1. 先求出单个元素的发生概率，将其相加
2. 再从中减去 所有两两元素同时发生的概率
3. 再从中加上 所有三元素同时发生的概率
4. 再从中减去 所有四元素同时发生的概率
.....
n. 最后从中加上（也可能是减去，取决于n的奇偶） 所有n元素同时发生的概率

用到这一题上，就是
   P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20）
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(A20)
- P(A1∩A2) - P(A1∩A3)- P(A1∩A4)- P(A2∩A3) ..... 【本行共C(20,2)项】
+ P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + P(A1∩A3∩A4) + P(A2∩A3∩A4)  ..... 【本行共C(20,3)项】
....
- P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)

由对称性，
P(A1) = P(A2) = P(A3) = .... =P(A20)；
P(A1∩A2) = P(A1∩A3) = P(A1∩A4) = P(A2∩A3) = .... =P(A19∩A20)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1∩A3∩A4) =  .... =P(A18∩A19∩A20)

也就是说，P括号里面只要项数相同，概率都一样。

则
   P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20）
= C(20,1) * P(A1)
-  C(20,2) * P(A1∩A2)
+ C(20,3) * P(A1∩A2∩A3)
- C(20,4) * P(A1∩A2∩A3∩A4)
....
-C(20,20) * P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)  

= C(20,1) * (24/25)^70
- C(20,2) * (23/25)^70
+ C(20,3) * (22/25)^70
- C(20,4) * (21/25)^70
...
+(-1)^(j-1) * C(25,j) * ((25-j)/25)^70
...
-C(20,20) * (5/25)^70

= 0.719969102

所以其余20洞均不为空的概率就是1-0.719969102 = 28.00%

若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍，请看下表

填洞数  无空洞概率
0         19.7%
1         21.1%
2         22.7%
3         24.4%
4         26.1%
5         28.0%
6         30.0%
7         32.1%
8         34.4%
9         36.7%
10       39.3%
11       41.9%
....
23       88.8%
24       94.3%
25       100%


19.7%的两倍是39.4，大约在10洞左右。

Howard 发表于 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍，请看下表

填洞数  无空洞概率

我真他妈服你了。。。。

Howard 发表于 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍，请看下表

填洞数  无空洞概率

继续麻烦你

如果一个洞已经进了1个球 那么洞就升级为绿色 再进就给40块奖励，同时升级为黄色，再进就给80，直到变成红色 200封顶
变红色后进一个给200，但是不能再升级了
2hit  40
3hit  80
4hit  140
5or more hit  200

问 在不中jacpot的情况下， 获得奖励的EV为多少钱？

这个解析法好像太难了。。。。

膜拜一下，厉害。
PS，我是昆仑苍狼的朋友

昆仑苍狼 发表于 2016-1-27 19:28
继续麻烦你

如果一个洞已经进了1个球 那么洞就升级为绿色 再进就给40块奖励，同时升级为黄色，再进就给80 ...

解析虽然麻烦一点，但也是可以做的。

不过，现场遇到这类问题，要求尽快得出一个猜测的结果，可以先估计一下。

1球：0
2球：40，平均每球20
3球：80，平均每球26.7
4球：140，平均每球35
5球：200，平均每球40
6球：200，平均每球33.3
5球以上每球均值降低

最佳状态就是每洞恰好中5球。75个球可填满15个洞，每洞200，共3000。这是理论上限。

理论下限是75个球都进了同一个洞，奖金200。

平均分布（但无jackpot）是24个洞平均每洞3.125球，21洞3球，3洞4球，奖金2100

我猜期望值会是2100-3000之间，靠近2100，如果非要估计一个数那就2250吧。

该问题要求的是下面六种情况下的条件概率：

P（指定某洞为0球|至少一洞为空）
P（指定某洞为1球|至少一洞为空）
P（指定某洞为2球|至少一洞为空）
P（指定某洞为3球|至少一洞为空）
P（指定某洞为4球|至少一洞为空）
P（指定某洞为5+球|至少一洞为空）

先看第一种情况P（指定某洞为0球|至少一洞为空）
根据条件概率的定义P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
所以
P（指定某洞为0球|至少一洞为空）
= P （指定某洞为空，且至少一洞为空）/ P（至少一洞为空）
= P （指定某洞为空）/P（至少一洞为空）
= (24/25)^70 / 0.803264
= 0.07147