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0127概率题

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1#
昆仑苍狼 发表于 2016-1-27 08:53:54 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

70个球 完全随机的进25个洞
允许一洞多球
那么70个球全进完后 25洞全被进入一球以上的概率是多少
答案19.8%
http://www.zhiyoucheng.co/thread-16866-3-1.html

时间荏苒啊,这一晃快一年过去了,又几把差它了一年
上面问题的升级版

25洞全进的话能得1000刀jacpot 现在对于钻石卡会员有优惠政策 从下面3个option里选一个

1 70球增加为80个球
2 jacpot1000刀 改为2000刀
3 上来免费填上5个洞 (不填死,后续还能进球)

哪个ev高? 第3个怎么算?
如果ev都和2000刀一样的话 需要几个球or填满几个洞?
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2#
Howard 发表于 2016-1-27 23:19:05 | 只看该作者
这道题非常有意思,先留个名,慢慢再算。
3#
Howard 发表于 2016-1-28 03:53:12 | 只看该作者
原始的70球25洞,概率是19.68%,奖金 1000元,因此EV是196.8元。

1, 70球增加为80个球

这个问题很简单,依据一年前算70球25洞的思路,可以算出,概率是35.31%
奖金仍然1000元,EV是353.1元,没有翻倍。


2. jackpot1000刀 改为2000刀
这就更简单了,EV = 196.8*2 = 393.6元

关键是第三步
4#
Howard 发表于 2016-1-28 04:31:09 | 只看该作者
3. 上来免费填死五个洞

洞编号为1-25号。填死的是21-25号。

假设A1 (1为下标) 表示1号洞为空,A2表示2号洞为空,。。。。。 Aj表示第j号洞为空,。。。。A20表示第25号洞为空。
当然我们已知A21-A25是不可能事件,也就是P(A21) = 0, ... P(25) =0

所求概率为 1 - P(A1∪A2∪A3...A20)

Inclusion-Exclusion定理依然成立,
这个定理基本上是说,你要想求一堆东西的并集的发生概率,可以这样做:
1. 先求出单个元素的发生概率,将其相加
2. 再从中减去 所有两两元素同时发生的概率
3. 再从中加上 所有三元素同时发生的概率
4. 再从中减去 所有四元素同时发生的概率
.....
n. 最后从中加上(也可能是减去,取决于n的奇偶) 所有n元素同时发生的概率

用到这一题上,就是
   P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20)
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(A20)
- P(A1∩A2) - P(A1∩A3)- P(A1∩A4)- P(A2∩A3) ..... 【本行共C(20,2)项】
+ P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + P(A1∩A3∩A4) + P(A2∩A3∩A4)  ..... 【本行共C(20,3)项】
....
- P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)

由对称性,
P(A1) = P(A2) = P(A3) = .... =P(A20);
P(A1∩A2) = P(A1∩A3) = P(A1∩A4) = P(A2∩A3) = .... =P(A19∩A20)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1∩A3∩A4) =  .... =P(A18∩A19∩A20)

也就是说,P括号里面只要项数相同,概率都一样。


   P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20)
= C(20,1) * P(A1)
-  C(20,2) * P(A1∩A2)
+ C(20,3) * P(A1∩A2∩A3)
- C(20,4) * P(A1∩A2∩A3∩A4)
....
-C(20,20) * P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)  

= C(20,1) * (24/25)^70
- C(20,2) * (23/25)^70
+ C(20,3) * (22/25)^70
- C(20,4) * (21/25)^70
...
+(-1)^(j-1) * C(25,j) * ((25-j)/25)^70
...
-C(20,20) * (5/25)^70

= 0.719969102

所以其余20洞均不为空的概率就是1-0.719969102 = 28.00%

5#
Howard 发表于 2016-1-28 04:40:06 | 只看该作者
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍,请看下表

填洞数  无空洞概率
0         19.7%
1         21.1%
2         22.7%
3         24.4%
4         26.1%
5         28.0%
6         30.0%
7         32.1%
8         34.4%
9         36.7%
10       39.3%
11       41.9%
....
23       88.8%
24       94.3%
25       100%


19.7%的两倍是39.4,大约在10洞左右。
6#
 楼主| 昆仑苍狼 发表于 2016-1-28 09:02:38 | 只看该作者
Howard 发表于 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍,请看下表

填洞数  无空洞概率

我真他妈服你了。。。。

7#
 楼主| 昆仑苍狼 发表于 2016-1-28 09:28:11 | 只看该作者
本帖最后由 昆仑苍狼 于 2016-1-28 09:31 编辑
Howard 发表于 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍,请看下表

填洞数  无空洞概率

继续麻烦你

如果一个洞已经进了1个球 那么洞就升级为绿色 再进就给40块奖励,同时升级为黄色,再进就给80,直到变成红色 200封顶
变红色后进一个给200,但是不能再升级了
2hit  40
3hit  80
4hit  140
5or more hit  200

问 在不中jacpot的情况下, 获得奖励的EV为多少钱?

这个解析法好像太难了。。。。



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8#
alanning619 发表于 2016-1-28 09:28:48 | 只看该作者
膜拜一下,厉害。
PS,我是昆仑苍狼的朋友
9#
Howard 发表于 2016-1-28 22:33:14 | 只看该作者
昆仑苍狼 发表于 2016-1-27 19:28
继续麻烦你

如果一个洞已经进了1个球 那么洞就升级为绿色 再进就给40块奖励,同时升级为黄色,再进就给80 ...

解析虽然麻烦一点,但也是可以做的。

不过,现场遇到这类问题,要求尽快得出一个猜测的结果,可以先估计一下。

1球:0
2球:40,平均每球20
3球:80,平均每球26.7
4球:140,平均每球35
5球:200,平均每球40
6球:200,平均每球33.3
5球以上每球均值降低

最佳状态就是每洞恰好中5球。75个球可填满15个洞,每洞200,共3000。这是理论上限。

理论下限是75个球都进了同一个洞,奖金200。

平均分布(但无jackpot)是24个洞平均每洞3.125球,21洞3球,3洞4球,奖金2100

我猜期望值会是2100-3000之间,靠近2100,如果非要估计一个数那就2250吧。
10#
Howard 发表于 2016-1-29 02:10:53 | 只看该作者
本帖最后由 Howard 于 2016-1-28 12:45 编辑

该问题要求的是下面六种情况下的条件概率:

P(指定某洞为0球|至少一洞为空)
P(指定某洞为1球|至少一洞为空)
P(指定某洞为2球|至少一洞为空)
P(指定某洞为3球|至少一洞为空)
P(指定某洞为4球|至少一洞为空)
P(指定某洞为5+球|至少一洞为空)

先看第一种情况P(指定某洞为0球|至少一洞为空)
根据条件概率的定义P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
所以
P(指定某洞为0球|至少一洞为空)
= P (指定某洞为空,且至少一洞为空)/ P(至少一洞为空)
= P (指定某洞为空)/P(至少一洞为空)
= (24/25)^70 / 0.803264
= 0.07147

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