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3. 上来免费填死五个洞
洞编号为1-25号。填死的是21-25号。
假设A1 (1为下标) 表示1号洞为空,A2表示2号洞为空,。。。。。 Aj表示第j号洞为空,。。。。A20表示第25号洞为空。
当然我们已知A21-A25是不可能事件,也就是P(A21) = 0, ... P(25) =0
所求概率为 1 - P(A1∪A2∪A3...A20)
Inclusion-Exclusion定理依然成立,
这个定理基本上是说,你要想求一堆东西的并集的发生概率,可以这样做:
1. 先求出单个元素的发生概率,将其相加
2. 再从中减去 所有两两元素同时发生的概率
3. 再从中加上 所有三元素同时发生的概率
4. 再从中减去 所有四元素同时发生的概率
.....
n. 最后从中加上(也可能是减去,取决于n的奇偶) 所有n元素同时发生的概率
用到这一题上,就是
P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20)
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(A20)
- P(A1∩A2) - P(A1∩A3)- P(A1∩A4)- P(A2∩A3) ..... 【本行共C(20,2)项】
+ P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + P(A1∩A3∩A4) + P(A2∩A3∩A4) ..... 【本行共C(20,3)项】
....
- P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)
由对称性,
P(A1) = P(A2) = P(A3) = .... =P(A20);
P(A1∩A2) = P(A1∩A3) = P(A1∩A4) = P(A2∩A3) = .... =P(A19∩A20)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1∩A3∩A4) = .... =P(A18∩A19∩A20)
也就是说,P括号里面只要项数相同,概率都一样。
则
P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20)
= C(20,1) * P(A1)
- C(20,2) * P(A1∩A2)
+ C(20,3) * P(A1∩A2∩A3)
- C(20,4) * P(A1∩A2∩A3∩A4)
....
-C(20,20) * P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)
= C(20,1) * (24/25)^70
- C(20,2) * (23/25)^70
+ C(20,3) * (22/25)^70
- C(20,4) * (21/25)^70
...
+(-1)^(j-1) * C(25,j) * ((25-j)/25)^70
...
-C(20,20) * (5/25)^70
= 0.719969102
所以其余20洞均不为空的概率就是1-0.719969102 = 28.00%
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