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接上贴。
上面光考虑了能不能赢到,不计其过程,言下之意,我们和庄家的bankroll都是无穷多,咸鱼总能翻身。
但现实是我们br有限,所以必须要考虑一类新的问题:
在输到-n之前就赢到m的概率是多大?
m、n均为正整数。
g(m,n) 定义为 在我们输掉-n之前就赢到+m的概率。
也可以用random walk的语言来说:以p的概率走+1步,以q的概率走-1步,g(m,n)代表在达到-n之前先到达+m
根据上贴的f (m) 的概念(到达m就算,无论经过还是没经过-n)
到达m的路可分两类。一类是没经过-n,第二类是经过了。
没经过-n,那就是g(m,n)
经过-n,那就还得从-n到m,也就是f(m+n)
f(m) = g(m,n) + [1-g(m,n)] * f(m+n)
上贴已经知道f(m) = f(1) 的m次方,所以
f(1)^m = g(m,n) + [1- g(m,n)] * f(1)^(m+n)
当p>1/2,坏事儿了,上式等于
1 = g(m,n) + [1-g(m,n)]
0=0
这个解法就废了
好在p<1/2时可以解出来
(p/q)^m - (p/q)^(m+n)
g(m,n) = ------------------------------------------------
1 - (p/q)^(m+n)
举例:某人赌大小,每次下注1,丫有40%的可能性猜对,总资金10。问丫赢到18的概率多大?
p = 40%
q=60%
m=8 (从10到18,需要赢8)
n=10 (10输光)
直接套公式:
g(m,n) = g(8,10) = (0.667^8 - 0.667^18) / (1 - 0.667^18) = 3.85%
几率实在不高
那位说了,p>1/2无解,咋办。其实也好办。咱就反过来,p做q,q做p,同时m和n也反一下,不就行了吗。
继续 |
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