概率 vs 常识 和思维习惯带来的错误认识

这个用贝叶斯公式来解。但缺少几个条件：
这么表述：确诊肺炎是事件A，咳嗽是事件B1，疼痛是事件B2，提供的条件是
P(B1|A)=0.15
P(B2|A)=0.5
求解的是P(A|B1&B2).
根据贝叶斯公式，P(A|B1&B2)=P(B1&B2|A)*P(A)/P(B1&B2)
缺少条件，包括所有病人中确诊肺炎的概率P(A),以及所有病人中咳嗽和疼痛同时发生的概率。

其实我想楼主想计算的是P(B1&B2|A)，语言表述是：得的是肺炎，那剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛的可能性。

而“剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，得的是肺炎的可能性”表述就是P(A|B1&B2)。

P(A|B1&B2)和P(B1&B2|A)是不同的，用语言表述好绕啊，所以还是用数学表达简洁直观。

计算P(B1&B2|A)，要考虑B1和B2是独立、互斥还是关联事件，一般会有个相关系数R。这里就可以画饼图了，结果是小于0.15。

回复 11# liuhaiyang
我的想法和你是一致的。没有P（A），15%和50%是么有价值的。
不知道，俺们的思路哪儿出了问题。
还是恳请斑竹公布一哈答案。

回复 13# 78x

有条件的公式是绝对的，缺少条件即无结果。

不过结果也正如LZ所说的，普通的直觉和事实往往有差距。这个时候只能依靠数学工具。

回复 14# liuhaiyang
看来你和我一样也是中国教育的受害者：

这就是让大家思考的地方，可能类似墙说过的，中国的教育令学生们很会解决一些有确定条件的题目，但是这里 ...
maomaobiao 发表于 2011-5-28 07:13

回复  liuhaiyang
看来你和我一样也是中国教育的受害者：
78x 发表于 2011-6-7 11:50

    呵呵，说不上受害者啥的吧，数学问题用语言描述，很容易就弄混了。到头来是一个问句前后调换的问题，结果大家说了半天，按照公式表述一下就一目了然。西方用一个清晰的符号系统来表述，利于数学归纳、解决和发展。

你也可能想说的是思维定式，这块我也有，所以要一直吸收大家的经验。比如我也很久没用过贝叶斯了，难得重温一下，手头的一些问题好像也多了点解法。

很久以前发的帖子，被翻出来了。很高兴有朋友愿意深入地讨论这个问题。看到"小屁孩xph"的回复时候，我就已经开始在努力回忆当时看书的思路了。这个问题原本出现在《The Drunkard's walk: how randomness rules our lives》这本书中（一下简称为“《醉汉》”），很不幸，我的那本丢在了公车上，可惜我还做了很多笔记。看来我有必要再买一本，也再次推荐给大家。至于这个帖子里提到的这个问题，我很高兴能有机会把我当时看书的思路整理出来，很多我想说的话，在大家的回复中都反映了出来，说明这个问题还是很有意思的。且听我慢慢道来:

1.《醉汉》中，这个例子出现地很早，所以它背后的科学道理相对并不复杂，原作者的目的只是要说明“即便是医生这样在西方被推崇的很有学问的职业，在对待概率问题时也会犯很简单的错误”。

2.首先，医生在日常诊断中通常会有一个“常识”性的逻辑
由：“来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽” 得出 “剧烈咳嗽的人，有15%的可能得了肺炎”。
这个逻辑肯定不严谨，本贴的回复中也提到了，但是原书的作者说，姑且认为医生这么判断有一定的经验依据，而这背后的逻辑（或者说经验总结）往往对于肺炎这种还算比较常见的疾病是行之有效的，作为判据的效率也是比较高的。话说到这里，其实还是怪我，当初发这个贴子故意留了一手，把这个条件省掉了。先请大家原谅我这么做，但这么做的用意在于下面的进一步讨论，事实证明我这么做是对的，否则大家也不会这么深入地讨论了，哈哈（自卖自夸了）。

3.姑且认为，医生们的第一个逻辑是成立的，那么这个题目的答案似乎就显而易见了，应该是 "一个人来看病，他症状表现为 剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，那他有小于15%的可能性得的是肺炎”，这是由“来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有小于15%症状表现为剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛”，这个计算我就不多说了。到这，好戏开始了。

4.《醉汉》原书的作者提到，医生们往往会犯第二个逻辑的错误，就是进一步用他们的“常识”（或者说经验），判断"一个人来看病，他症状表现为 剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，那他有大于65%（或者说较大的可能）得的是肺炎”。而这这个结论和实际情况又往往吻合，如果大家要反对这一点，那就算我的或者说原书作者，或者医生们的“常识”有问题吧。话说回来，不论医生的“常识”判断如何，也许第一个逻辑还值得商榷，但是这第二个逻辑错误却是显而易见的，也是无可回避的。是到此，原书作者的目的达到了——“即便是医生这样在西方被推崇的很有学问的职业，在对待概率问题时也会犯很简单的错误”。

5.那么，《醉汉》原书作者提到，这两个逻辑的错误的联合，是怎么得到一个常识性正确的结论的呢？他说，这就是人脑对概率的一种“思维习惯”，是一种直接的反射，而不是计算的结果。这种人脑对概率的认识，很可能在人脑的漫长的进化过程中就形成了，并不需要后天的学习和计算，就可以得到一个比较模糊的接近正确的结论。就像大家讨论的那样，如果要严格地得到一个答案，其实缺少一些条件。但是，我们在生活中作各种各样的决定和判断的时候，往往伴随大量的未知条件。而大脑实际上是综合了过去以往的“经验”，对这种包含未知条件的概率进行判断有其自己的一套方法，而这个判断的方法（类似潜意识的）目前还不为我们完全了解——但是却足够我们生存下来，规避风险。

6.所以，讨巧地说，这个题目并没有一个真正的答案。

7.我把这个例子提出来的初衷是因为，在牌桌上，很多东西的概率是一定的，比如说同花抽牌的概率，抽两头顺子的概率。但是，有很多东西又是未知的。我们很多时候都会有“直觉”，例如“我下一个大注能把他打跑”；“他的这个overbet是在诈唬”。直觉这东西，有时候并不完全离谱，特别是在建立在大量的经验的基础之上。虽然我是相信科学的，但是自读了这本书之后，我对直觉有了另外的一种解读和认识。

我是来要求楼上 respect

XPHXPH, 这个英文名字，不是你理解的意思就不要乱按照你的意思乱改 OK?

BTW: 突然发现这个用户ID还可以这样理解

呵呵，直觉啊。我直觉觉得XPH这个名字和音乐有关。