恒星距离引发的疑案

本福特定律不仅可以预测最高为，还可以预测第二位。

上贴的式子提到，一堆符合本福特定律的数字，其最高为数字为d，则d出现的概率满足：
P(d) = log(d+1) - log (d)
注：log 以10为底

其实，把最高位d换成数字本身n，一样成立。
P(n) = log(n+1) - log (n)

这样，我们就可以计算第二位数字的出现频率。

比如，“2”出现在首位的概率是17.6%，那么2出现在次位的概率是多少？
2出现在次位，首位可以是1到9
所以只需计算前两位是12、22、32.。。。。。92的概率，加起来就行了

log(13)-log(12)  + log(23)-log(22)  + .....  + log(93) - log(92) = 0.109

第二位可以取0，所以有10种可能，如果平均分布是0.1

可见次位的分布就均匀的多了。到了末位，基本就跟7楼说的一样，均匀分布了。

跪拜数学大神

如果陈景润全职打扑克，那会是啥样，还不得搞出个德州布拉夫猜想。

wzq 发表于 2015-6-10 14:58
如果陈景润全职打扑克，那会是啥样，还不得搞出个德州布拉夫猜想。

从不知道他研究的那个猜想有啥NB的。

数学大师丘成桐: 没谁认为哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。

snowsnow 发表于 2015-6-12 01:33
从不知道他研究的那个猜想有啥NB的。

数学大师丘成桐: 没谁认为哥德巴赫猜想是皇冠上的明珠。

当然他水平很高，
好比我们就知道常用几千个汉字，
据砖家说汉字有30万个(?)，好些只有专家认得，

donot 发表于 2015-6-6 06:04
首位数不是随机分布的，末位数是。如果是十进制，首位数与单位无关。

末位数也不是随机分布的

Howard 发表于 2015-6-10 01:00
本福特定律不仅可以预测最高为，还可以预测第二位。

上贴的式子提到，一堆符合本福特定律的数字，其最高为 ...

挑个骨头，可以推论第n位数字为某个数的概率随着n的增大会变得越来越符合均匀分布，但是不能说末尾数位某个数字的概率也是符合均匀分布的。末位数所在的位数不是固定的啊。

比如说末尾数为1的概率应该是 Pn(1) * Pd(1， 1) + Pn(2) * Pd(2， 1) + Pn(3， 1) * Pd(3) + Pn(4) * Pd(4， 1)... + Pn(x) * Pd(x, 1)，其中Pn(n) 是一个数的位数为n的概率，Pd(m, n)指的是一个数第m位为n的概率，x是所考虑的数的最大位数。


如果所考虑的数的位数非常大，那各个数字在末位的概率可能差别还不是很大，否则的话，其差别可能还是很明显的（未经验证）。


从另一个角度说，Howard提出的对首位数的悖论对末位数也一样成立不是？