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本帖最后由 Howard 于 2015-4-27 20:02 编辑
接第14楼,用概率符号表示,
假设A1 (1为下标) 表示1号洞为空,A2表示2号洞为空,。。。。。 Aj表示第j号洞为空,。。。。A25表示第25号洞为空
则我们最后求的概率是
1 - P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A25)
要想求出这个概率,就要使用一个定理叫做Inclusion-Exclusion.
这个定理基本上是说,你要想求一堆东西的并集的发生概率,可以这样做:
1. 先求出单个元素的发生概率,将其相加
2. 再从中减去 所有两两元素同时发生的概率
3. 再从中加上 所有三元素同时发生的概率
4. 再从中减去 所有四元素同时发生的概率
.....
n. 最后从中加上(也可能是减去,取决于n的奇偶) 所有n元素同时发生的概率
用到这一题上,就是
P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A25)
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(A25)
- P(A1∩A2) - P(A1∩A3)- P(A1∩A4)- P(A2∩A3) ..... 【本行共C(25,2)项】
+ P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + P(A1∩A3∩A4) + P(A2∩A3∩A4) ..... 【本行共C(25,3)项】
....
+ P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A25)
由对称性,P(A1) = P(A2) = P(A3) = .... =P(A25)P(A1∩A2) = P(A1∩A3) = P(A1∩A4) = P(A2∩A3) = .... =P(A24∩A25)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1∩A3∩A4) = .... =P(A23∩A24∩A25)
.....
也就是说,P括号里面只要项数相同,概率都一样。
则
P(A1∪A2∪A3∪A4∪.... A25)
= C(25,1) * P(A1)
- C(25,2) * P(A1∩A2)
+ C(25,3) * P(A1∩A2∩A3)
- C(25,4) * P(A1∩A2∩A3∩A4)
....
+C(25,25) * P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A25) 【此行为0】
根据13楼的研究成果,上式
= C(25,1) * (24/25)^70
- C(25,2) * (23/25)^70
+ C(25,3) * (22/25)^70
- C(25,4) * (21/25)^70
...
+(-1)^j * C(25,j) * ((25-j)/25)^70
...
+C(25,25) * 0
通过Excel计算(不用VBA编程),结果是:
0.803264
所以,25洞均不为空的概率就是1 - 0.803264 = 0.1968 = 19.68%
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