多街诈唬频率和Game Theory 续篇

深筹码下的诈唬频率和GameTheory 续篇

上篇《深筹码下的诈唬频率和GameTheory》主要是站在下注者的角度来讨论多街的诈唬频率。本篇更多地站在防守者的角度，继续研究多街情况下的gametheory应用。废话少说，上模型。

模型重述

甲乙二人在单挑牌局。筹码足够深。

假设：

·        还剩两轮下注

·        所有下注均为potsize

·        甲牌力无发展潜力且基本打明；乙听牌，有20%的可能发展为更好（80%是空气）

注意这个模型里位置无关紧要，因为甲永远不可能下注。

先关注最后一轮下注，乙应该在30%的时间下注，其中当然包括20%的好牌，然后用这些好牌“掩护”10%的空气。这样乙的打法实现GTO，甲全fold、全call、以及采取任何程度的fold、call混合都是一样的EV。如果底锅是100元的话，乙可以获得30元的EV。同时，我们不妨假设甲的策略是始终fold。

现在我们来看看两轮下注的情况。我们已经知道了，乙在河牌有30%的几率能不亮牌拿下锅。这就意味着乙可以在转牌下注45%的机会。这里面，因为20%是好牌，另外25%是诈唬。但是，在某种意义上，只有15%是真正的诈唬。这是因为另外所有的30%他都能在河牌拿下。

现在我们来看看乙是怎么实现这样GTO的下注的。在转牌，他下45%。到河牌，他要放弃这里面的三分之一，拿另外三分之二下注，而这三分之二里面的好牌和空气比例是二比一。只要乙以这种方式设计下注的流程，甲就无论怎么样EV都是相等的。如果你不信，我把计算过程列一下。假设这手牌玩了100次。

如果甲在转牌全部fold掉，那么这100手牌玩下来，甲有55手能捡到底锅100，因为乙只下注45手。这样，甲平均每手的EV是55元。

如果甲的策略变成call转牌，却fold河牌呢？那么：

·        有55手他能得到免费亮牌机会并全部赢下100的底锅；

·        有15手他赢下200；

·        有30手他输100；

平均下来，每手牌的EV的还是55元。

如果甲的策略是一路call到底呢？那么：

·        有55手他能得到免费亮牌机会并全部赢下100的底锅；

·        有15手他赢下200；

·        有10手他能赢下500；

·        有20手他输400；

平均下来，每手牌的EV的照样还是55元。

站在甲的角度

现在，我们来站在甲的角度，来看看如果我们知道对手并未采用上述符合gametheory的下注方式时，该怎么应对。

如果仅剩下一轮下注，那应对方式是显而易见的：对手诈唬太多我就call，对手诈唬太少我就全部fold。

难点就在于还剩两轮下注怎么办。在我们的例子中，如果乙在转牌的下注含有太多的诈唬，那我们仍然必须得call。之后，河牌是否继续call取决于你认为他是否有高于1/3的下注是bluff。

反之却不然。如果乙在转牌上诈唬比GTO稍微低一点，我们（作为甲）的正确应对策略未必是fold，可能仍然要call。原因在于对手在河牌的下注可能严重偏离GTO。下面举例，还是假设玩100次。

这100手里，我们推荐的GTO，是乙需要在转牌下45手。现在乙在转牌上下注40手，比GTO标准略低，此时是否应该call取决于乙的河牌策略跟GTO差距多大。

如果乙在河牌下注29手（略微低于建议30手的GTO），那么我们河牌显然应该全部fold，那么，转牌上我们跟注仅能在40手里面拿下11手，不够potodds所要求的1/3。

然而，如果乙在河牌仅下注25手（严重低于建议30手的GTO），那么我们在转牌的跟注就能在40手里面拿下15手，足够potodds要求的1/3，所以最佳策略就变成了转牌call，之后河牌fold。这样做的话：

·        有15手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有25手牌甲输100（乙bet转，bet河，其中20手value5手bluff）；

平均下来，甲每一次call能获得5元利益，比fold好。

如果乙在河牌下注的诈唬频率过高呢？假设乙在河牌会下注35手（严重高于建议30手的GTO），那么，甲的正确应对策略变成了应该call转牌且call河牌。这样做的话：

·        有5手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有15手牌甲赢下500（乙bet转，bet河，bluff）；

·        有20手牌甲输400（乙bet转，bet河，value）；

平均下来，甲每一次call还是能获得5元利益，比fold好。

同样道理，如果乙在河牌的下注仅仅是稍微高于GTO，比如他下31手，那么甲在转牌还是fold为佳。其具体计算不再陈述。

我们看到一个有趣的结论，就是，我们作为甲，明知乙在转牌的诈唬频率低于GTO，却可能能够call而获利，只需要乙在河牌打法严重偏离了GTO即可，而且这种偏离可以是向任意一个方向的：既可以是诈唬过多，也可以诈唬过少。

要提醒注意的是，这种情况的发生，仅在乙在转牌下注稍微少一点（比GTO要求的诈唬频率稍微低一点）是可能的。如果乙的下注少太多，比如他在转牌仅仅对30手或者更少的牌下注，则不管他河牌玩的多烂，我们现在都只能得fold。如果他转牌下注仅仅略微高于30，那么他河牌就得玩得特别烂，我们才能找到转牌call的获利机会。

模型函数

假设100手里面乙在转牌下注x手，在河牌下注y手。甲的EV是z元。

先来看甲call转牌，fold河牌的EV：

·        有x-y手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有y手牌甲输100（乙bet转，bet河）；

所以，z1= (200(x-y) - 100y )/100 = 2x-3y

若要此打法有利润，需z1>0，也就是y<2x/3；

再来看甲call转牌，call河牌的EV：

·        有x-y手牌甲能赢到200（乙bet转，check河）；

·        有y-20手牌甲赢下500（乙bet转，bet河，bluff）；

·        有20手牌甲输400（乙bet转，bet河，value）；

所以，z2= (200(x-y) + 500(y-20) - 400*20 )/100 = 2x+3y-180

若要此打法有利润，需z2>0，也就是y>60- 2x/3

暂时没找到把两个函数绘制在一个坐标系里的工具，所以交线什么的都不太明显。明天我争取手绘一副传上来

最后再声明一下，这一系列是着重理论研究，设置了很多假设前提，所有结论都只有在这些前提下才成立。但是，笔者相信，只要理解了这些结论背后的道理，在现实牌局中也找到足够近似的情况以实践这些东西。

赞!

通篇没有人话，一点流氓都不耍

这篇留着，我得先好好学习上篇，不是论坛争论，还差点漏掉。
补补课。

这两个图贴得真漂亮。

这事跟老墙那贴的东西，这里也贴上，否则火花这贴也太干净了：

以前做过不少EV计算，但平衡自己打法中的（价值：咋呼）比例计算确实没有做过（即无论对手CALL 还是FOLD EV不变）。

自己计算了下，这个比例不是恒定不变的，当下注的尺度变化时，这个比例也会变，和下注量（1个POT为单位）的关系是价值：咋呼=1+1/N,这个N是下注尺度，如果N=1POT，价值：咋呼=2:1，如果N=2POT，则 价值：咋呼=3:2.

这图形真漂亮，赞楼主讨论gto，大哥哥一出手，肯定又是满城尽带叫好生  lol

霍师傅好贴，我现在知道了MGW先生为什么不提起手牌RANGE，不说筹码量，不说位置。只说频率。他的前提全部是你这里的假设。我当时是具体应用中的假设比如15%的开叫等，说的主题是翻前攻防的策略。

GTO的这些计算我确实没有做过，我以为大同小异，都是EV计算。

我和他当时谈的不是一个东西，所以折腾了半天。现在知道你老人家当时那么说的深意了。

这贴主要是翻后的GTO策略，我这里总结一下，主要是从河牌倒推每一轮：

1） 价值：咋呼的比例=2:1，这是翻后在这个模型下不被利用的下注比例。如果下注尺度是0.7POT还用这个比例就肯定有问题了。 我做了点计算，把这个比例改成=1+1/N，N是下注量。这个关系在每一条街是成立的，但全局是否成立没有验证。

2）下注强度，每条街是逐级下降的。实际上这基本是个通用的翻后GTO下注策略，不知道有错没有。

不过我有一个问题：

甲乙双方都采用GTO打到河牌，从河牌看，因为有死钱100，乙的EV是+30，但总的来看乙这么打是赚了还是亏了？即从翻前开始计算，乙这么打是+EV还是-EV？

另外，当筹码足够深的时候，在河牌还是加大下注尺度更划算，这同时又加大了河牌的咋呼比例。但即便是加大，如采用GTO 乙最大的EV好像最多是+40，（2N+1/N+1）*0.2*100.

其实我感觉实际打牌中，河牌的超强注跟的动的很少，在河牌还是抓住对方特点打好。

睡眠很糟糕，思路不是很清晰，绝对不是借口，论坛一打架，其实我也很紧张的。这贴写的很累。

回楼上德芙，

甲乙双方都采用GTO打到河牌，从河牌看，因为有死钱100，乙的EV是+30，但总的来看乙这么打是赚了还是亏了？即从翻前开始计算，乙这么打是+EV还是-EV？

问乙是赚了是亏了？从翻前看+EV还是-EV？我不知道。因为目前我只能算两条街的情况，要算总体，需要四条街，我感觉计算复杂度至少比两条街高100倍以上。更麻烦的是，有一个假设很难hold “甲牌力无发展潜力且基本打明”，从pre到flop，基本不存在“没有发展潜力”的牌。

另外，问乙“这么打”是不是亏了，貌似在考察乙的系统打法问题。而我所研究的，其实是乙的打法“在某特定情形”的问题，这特定情形就是乙有且仅有20%的机会是比甲更好的牌，看看乙在这种“不利”情况下最多能拿到多少EV。我贴只能在这一前提下才有意义。如果研究打法本身，就要考虑所有的情况，这目前太复杂我还不敢动。

wowowawa1 发表于 2014-11-5 19:48
这图形真漂亮，赞楼主讨论gto，大哥哥一出手，肯定又是满城尽带叫好生  lol ...

好帖就叫好，这有什么丢人？如果你觉得哪里不好，哪里不对，提出来，我相信老霍会很乐意跟你讨论的。他会感激一切给他挑刺的人，只是，不必酸溜溜。

Howard 发表于 2014-11-5 22:18
回楼上德芙，

理解不是很透彻，请教一下，或者说瞎问一下：
就把乙的牌力定在flop两低张卡顺，甲是超对，这样大概两路都是20%的概率。
转牌乙带对卡顺， 甲还是超对。这还包括一个转牌乙要击中一个对子的假设（先忽略吧）
要是这个姑且不算的话，霍师傅倒推过来甲在转牌的EV是55，乙就是45.100的pot，不管flop怎么打的，除非乙的投入不到45，否则乙的这种策略都是亏钱的？