转贴分享：基本概率课开讲了！了解赌的数学

其余庄家赢钱的方法
庄家不只靠着赌场付出比实际该付出的少而赚钱，其它的则是在规则上的一些优势（例如：在玩21点的时候，玩家会比发牌者先爆掉），或者每一把要抽成（如玩百家乐纸牌）。

让我们来玩个游戏吧
让我们把所知的规则运用在一个很简单的机率游戏：
假设当地的赌场迫不及待地发明出这种无聊的游戏：在一个黑碗里装13颗弹珠，包括9颗蓝的，4颗红的，所有弹珠的大小重量相等，除了颜色以外没有其它差别。每次玩游戏时都是任意选取弹珠（没有经过刻意的挑选），你可以赌说它是红的或蓝的；赌场的比是蓝弹珠7赢5，红弹珠3比1。你该玩这个游戏吗？如果你想下注的话，该如何下注呢？首先，我们列出所有可能的机率：
弹珠游戏的机率
事件　　　　抽中蓝色的机会
分数　　　　　9/13
小数　　　　　0.6923
百分比　　　　69.23%
比例　　　　　4比9
发生机会　　　1.44次中有1次
事件　　　　  抽中红色的机会
分数　　　　　4/13
小数　　　　　0.3077
百分比　　　　30.77%
比例　　　　　9比4
发生机会　　　3.25次中有1次
我们来看看你赌蓝色的话会发生什么事？因为它的赔率是7赔5，实际上也就是2比5（如果你觉得困惑的话，请见前面的「赌场比」）。
这表示当你赌5元时会有2元获利，而你也会把你的5元赌金赢回来（总金额是7元）。请比较赌场的比2比5和实际应有的比为4比9；在赌场里，你要赌10元才能赢4元，而实际上的比却显示你只要花9元就可以赢4元。在这里我们就能够看到赌场的典型作法，付比实际上应付的钱少以获利。现在我们来算算期望值及庄家优势。记住，你每赌5元，抽中蓝色的话只能帮你赚2元：
E=[9/13x(+2)]+[4/13x(-5)]
=-2/13
=-0.1538
每一元赌注的期望值=-0.1538/5=0.0308
庄家优势=3.08%
所以我们每赌一元，就期望输掉3分。这虽然看起来不怎样可怕，但也不怎样好。再接下来我们要讨论怎样估计庄家优势。
现在我们来看看赌抽中红色的情形：比例显示为3比1，把它与真正的机率9比4相比，如果你赌4元会抽中红色，赌场会给你12元，再加上你原来的赌金，实际上的机率告诉你只会赢9元。嗯，我们来算算庄家优势的期望值：
E=[9/13X(-4)]+[4/13X(+12)]
=12/13
=0.92318
每赌1元的期望值=0.9231/4=0.2308
庄家优势(？！)= -23.08%
看起来似乎赌场犯了一个大错，庄家优势并非是优势啊(因为出现负号)！这样的赌注可是对玩家大大有利，玩家每赌一元最终就可期望回收23分。对赌场而言，这个虚拟游戏大概会被称着「不幸的13」吧！
你或许已经注意到了两种不同的机率表达方式：7赔5和3比1。这样做是为了要让你更熟悉机率的表达方式，但我也偷偷地犯下一个每个玩家都想发现的「错误」。（可别因此就抱着希望，因为你很少或几乎是没有机会找到这种错误，机率接近0。）一家精明的赌场会把抽中红弹珠的机率改成3赔1，也就是2比1。这就完全地改变了赌注的期望值，而结果就变成庄家优势是7.69%，那可是有很大的不同喔！（你自己算一次看看吧，来吧！我知道你很想算一次。）
一个游戏告示的印刷错误，对精明的玩家而言就像天堂一样，而对赌场来说则是场大灾难。就像我说过的，你绝对不可能遇到那样的事，即使是接近那样的事也相当不可能，但那也是个诱人的好例子～或许有些夸张吧～告诉你了解怎样下赌注是值得的。

思考庄家优势
藉由数字的计算，可以让我们知道庄家优势的具体概念，但是我们别忽略这优势告诉我们什么---赌场占优势的时候并非我们输的时候，而是我们赢的时候。是的，你没有看错。在大部分的游戏中，庄家优势榨干了你赢的钱，并非你输的钱。为什么呢？因为当你赢的时候，你并没有拿到合理的赌金。
我们已经看过它了，回到丢铜板的例子吧。真正伤害你的并非你输1元，而是因为你赢的时候只得到90分。最终你的输赢总和---也就是你猜正反面的结果，会是相等的，但是你的钱却不相等，因为你赢的时候并没有获得足够的钱，这就是赌场偷偷抽税的方法。玩家们总是在为自己输钱懊恼不已，当然，这在短期内是会造成伤害的---但是他们真正该担心的是，当他们赢的时候「输掉」多少钱？很少玩家知道或观察到因为庄家少给钱，所以他们玩的并不公平的游戏。
你可能偷笑地想：「别想用似是而非的话迷惑我，我赢的机会总比输的多。」我同意。如果我知道我总是会赢，那我就不用去想我得到的是不是真正应得的比例，或是恰当的比例，但很可悲的是，事实和机率告诉我们，我们会赢一些也会输一些。这样说吧：如果赌场有个游戏只有两个选项让你下注，而你两边都下注，你还是会输，你不会没输没赢。你不能打平的理由是因为你赌赢的那边，那是一定会发生的事，因为只有两种可能---没有给你它该付的，而与输的那边无关。
这在玩轮盘时最明显了。你在每个数字上都下一样的赌注，轮盘停下来的时候，当然会落在其中一个你下注的数字上。那么，你会赢钱吗？当然不会。每个数字真正的比是37比1，而赌场只会付你35比1。如果你在每个数字上都下注1元（共37元，单零轮盘），你赌中的那个数字只会帮你赚35元，加上你原本的1元，你总共还输1元。你没得到你应得的数字，而那就是庄家优势。
了解这狡猾的机制怎样运作是很重要的，别认为你是在猜迷游戏中跟庄家比赛，因为你时间算错或是运气不好才让你输的。你是真的在跟他们玩一个你最终不可能赢的游戏。要成为一个老练的赌场玩家或职业赌徒，你就要了解赌场的秘密收费。
（这个恐怖吗？当然除了职业玩家或老练的赌场玩家是例外。下一课会更恐怖，不是没人注意到，是大部份赌友都误解了。）

庄家的优势与压榨
好吧！你已经接受了这种不大的不公平。对赌场而言，经济的必要来源---就是庄家优势。即然你把自己托付给它，你或许用以下的说法安慰自己：「很好，所以在每个我喜欢玩的游戏里，庄家有5%的优势。我带着100元去赌场，我就期望输5元。这样可以娱乐一晚的话，看起来不怎样夸张，并且我还有可能赢回来。」
我还有更坏的消息要告诉你，其实你知道上一句的说法并不合理，但是可能对你有着特殊的吸引力。真正的事实是，如同在期望值看出的庄家优势，那个5%真的足够应付所有的花费吗？那不只跟你的钱有关而已。(恐怖开始了。)
有什么差别吗？你必需拿出比你足以应付资金更多的钱，因为你不可能总是输钱，而你会一直把赢的钱拿出来再赌，资金$100可能赢回$1000。假设你玩21点，在普通玩乐的情况下，庄家有2%的优势，你带100元到消费至少5元的赌场玩，你可能很不幸地一连输了20次，也可能在一小时内赌了50次5元，所以你的期望值会是$5/次X50次/小时X0.02庄家优势=$5，显然它已经超过你每赌100元，庄家优势应可获得的数目($2)了。(恐怖吧？下面再恐怖一点！！)
就是这种持续的赌注，以及把所赢得的钱再度投注的方式把你的钱吃掉的。在你玩了20小时的21点后，你会输的期望值为20小时X$5X50X0.02=$100。那就是你所有的钱了，但是你玩的是只有2%庄家优势的游戏喔！(够恐怖了吗？）
这种钱滚钱的现象，总是让赌场的金库堆满钱。大部份的人会把他们赢来的钱再度投进游戏中。虽然钱滚钱的现象在所有游戏中者会发生，但它的影响在主要的「回收」机器---吃角子老虎机中最明显不过了。我将会进一步讨论钱滚钱的现象，你玩越多次，庄家优势就会吃掉你越多钱！
(怎样？够恐怖了吗？可能对你没有什么感觉，但对我或大赌金的朋友来说，是恐怖到极点。反过来，赌场对职业赌徒一起围攻也感到恐怖到极点，因为庄家优势反过来变成闲家优势，破产的会是赌场，这是我上几次有提到的。请记住！赌场是残酷之极的地方！不要在里面随便玩乐。接下来的课，恐怖会持续。)

从理论到实际
现在你已经清楚地了解到要怎样估计期望值及庒家优势，但还是有些东西听起来不大对劲，之前所说的部份都只是理论而已。你从经验或是用常识判断，当你在玩21点时赚了$1000以后，你从来都不大可能刚好输掉$20(假设庒家优势是2%)。事实上，你知道你可能会比那个数字多输一点或少输一点，你知道在实际上的游戏过程中，结果不大可能像我们之前做数学上的预测一样；你也知道每一把赌注，不管它的比例有多差，你总是会赚一些的，相信自己是百分之百正确的。
正如你所注意到的，我在期望值结果的说明，都会加上［最终］这个字眼。那是因为，在短时间内，你的钱就会像坐云霄飞车一样起起落落。任何一个人在游戏的过程中有可能赢钱，如果不是这样的话，赌场就不会那么吸引人---但是在次数够多以后，赌场一定会赚回它该得的钱。如果玩的次数够多，你会在一个期望值为负数的游戏中输钱。换句话说，也就是一个庒家优势是［正数］的游戏。
那么，［最终］指的是多久呢？很难完全肯定地回答，当中牵涉到一些统计的数字。那取决于你下的是哪种赌注，以及期望值为何。什么时候是你的［最终］呢？决定于你总共玩了几次。对于一个一年只去几次的一般客人而言，他可能得花一辈子的时间才会走到［最终］；对于那些热衷于赌场，每周末都出现在赌场的人而言，他的［最终］可能是好几年；对那些每天都出现在赌场的职业赌徒而言，那可能只会花几个月的时间。对于赌场而言，每天来的人潮那么多，［最终］可能不需要花多少时间---它可能只要一天或一周。
长期与短期的重要性算是机率的延伸理论。我们所处理的是［平均规则］或称它为［大量法则］，更多人称它为［大数法则］，它相当接近我们所讨论的问题。这个数字规则正弥补了理论上的期望值及我们生活经验间的差距。这个重要的法则如下：在重复并且独立地做相同实验的情形下，单一事件发生的机会趋近于理论上的机率。说得更白话一点，就是你赌越多次(相同实验)，你会得到越接近期望值的结果(理论上的机率)。
让我们来看看精确的轮盘游戏吧！在双零轮盘中，每一次赌注，玩家都有-5.26%的期望值，即使你100次都没输赢，你仍会落在图中曲线上的其中一点。这看起来像令人觉得熟悉的钟形曲钱---用来分析考试成绩、死亡率、研究结果等的曲线，它趋近平均值或中数(在这边是-5.26%)呈对称分布。垂直轴表示从0到1的机率，水平轴表示玩家比平均值高或低的百分比，曲线上的每一点显示了每种机率的结果。如你所见，最多的结果就是我们所期望的-5.26%，但是还是有很多其它的结果。
只玩100次的话，会与我们所期望的有很大的落差。好消息是你可以在短时间内赢很多；坏消息是长久下来不可能会发生这种事。你玩得越多次，曲线就越紧缩，它最后会逼近-5.26%，而外围的结果就不大可能发生。当你玩10000次的时候，请看图中的实线曲线，那条瘦瘦曲线几乎不可能落在百分比为正数的区域。
这种无可改变的大量法则适用于赌场的每种游戏，你玩越多次，就会让曲线越接近期望值。这种情况适用于期望值为正数，对我们有利的游戏。别认为你可以以智取胜或改变最终结果。只玩一下子，就换其它游戏，休息久一点，只在你觉得幸运的时候才赌，并不会改变最终结果。如果你玩一千次，每次只下一次注，或是一次就赌一千次，大数法则对它而言同样有效。(那并不代表一千次就一定会获得期望的结果---对大部份的游戏而言，这样的数字还不足以确保出现那样的结果。)你每赌一次，它就算是你一辈子的其中一次，算是你一生总和的一部份。

标准差
假设期望值是负的，你佷难见到光明。那要怎样才能对玩家有利呢？为什么还是有那么多人成为赢家呢？短期内会出现什么状况呢？
如我们较早之前提到的，对任何一个赌者而言，短期间内的情形---其结果与我们所预期的长期结果有很大的落差。无论你是一日内到密西西比河边，或是到拉斯维加斯玩一周，你不一定会获得预期的结果，你还没有制造出足够的机会以达到你想要的结果。那听起来很棒，不是吗？或许吧！你可以赢得比期望值多很多的钱，那么我是不是也该指出，你也可能输很多钱？
为了要了解这种现象，我们需要了解机率世界里的另一个概念，也就是统计学上的标准差。标准差描述了在预测中可能发生的所有结果，换句话说，我们与期望值间的差别就叫标准差，它让我们知道如何预测结果，及其界线为何，它解释了所有合理结果的差异。
让我们回到丢铜板的例子。如果丢铜板100次，机率应该有50个正面及50个反面，那可能是一种期望值，但并非实际情形。在真正的实验中，反而不大容易获得正好那样的结果，你可以自己试试看。数学家们可以从期望值中确切地计算出各种的差异，这种差异就是标准差---这是从期望值结果（50-50）推算出来的。例如，有68.3%的机率会落在55次正面45次反面与55次反面45次正面之间，这是标准差正负1。有百分之95的机会会落在40到60个正面间，这是标准差正负2的情形。这表示什么呢？你「期望」出现50个正面，但事实上有68.3%的机率你会丢出45到55个之间的正面，而有95%的机率丢出40到60个正面。
让我们把这个观念运用到下面的钟形曲线上，我们标出转轮盘的标准差。
如果我们看到标准差为负的部份，我们会得到-15.26%。相反地，如果标准差为正时，我们得到+4.74%。所以，如果每一盘赌1元，有68.3%的机会会落在输15.26元或是赢4.74元之间。看看图表上画阴影的部份，你可以看到你有很大的赢面，那也就是为什么有时候虽然庄家优势很大，你却还是可以硬生生地赢钱。就像之前所提到的，随着你玩的次数变多，你的曲线扩散的机会就越小。请回头看上一课图中的曲线，在你试了1000次以后你获得正期望值的机率（大于0%）几乎是小于5%。在试了10000次以后，即使是标准差为3（涵盖了曲线的99%），也没有办法让你到正数的部份。

从庄家的角度而言
照这么说，似乎对赌场是个好消息。事情的确如此，越多人在你这边对你越有利。记住，一个对玩家来说期望值为负数的游戏，对庄家来说期望值就是正的。对赌场而言，要“最终”并不是件难事，每间赌场平均一天有30，000名客人，任何一名客人，从他的观点来看，经历赌注结果的都属于短程的，但是赌场可以从所有个别赌者的总和中获利。整体而言，所有顾客的下注总数创造了足够趋近理论上期望值的总数。看看钟形曲线，赌场不需要花太多时间就能累积到足够的下注次数，获得期望的结果。
奥拉夫.凡丘拉在他的书《聪明进赌场玩》中告诉我们，在三个月的期间内，玩100，000次的轮盘游戏中，百分之99.99%的机率可以获得4%到6.5%的利润。那么赌场的输钱的机率呢？在10，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000次中只有不到一次的机会。
赌场并不担心你会“走运”，相反地，如果你赢了一些钱，如果你没有做出任何对你有利的事（如算牌等），赌场根本就不会在意。事实上，他们希望你到处去说你赢了：你赢钱的故事只会带来更多客人，更多客人就会更贴近大数法则，确保赌场永远是赢家。至于你赢的钱呢？如果你回赌场的次数够多，他们也会把你的钱再赢回去，你越想要从他们那边赢钱，他们赢的机会就越多。
赌场不仅是有先天上的，也就是数学上的优势，他们还有另一种很大的优势就是有很多很多钱。他们的“资本”远超过任何一个玩家，所以他们可以在游戏中撑得比玩家还久，不需要担心因标准差的震荡而让一些赌者大赢，中赢或小赢；赌场自然有钱应付这些赢家，并且继续从许多许多输家那边赚钱。
因为银行无限的资金供应（至少Joe Gambler就是如此），让我们无可避免地要知道赌者的毁灭这个观念。基本上，赌者的毁灭就是“破产”的夸张说法。大部份赌者/数学家想要算出以特定资金（假设500元）达到特定目标（假设赢两倍或三倍的资金前），都会先分析这个观念。
这样的分析，无可避免地有这种结果---就是你玩得越久，就越有机会破产。（当然，一个庄家优势越低的游戏，你可以玩得越久。）事实上，如果你玩一个期望值为负数的游戏，玩得够久，终究会输掉所有的赌金。为什么？因为不管你经历多少次落在正值的震荡中，庄家都会对你穷追不舍---他们当然不会就此罢手，回家吃自己。所以最终（这是我们最爱用的词），你会输掉一切，赌场总是可以撑得比你久。
(好长好长，终于打完了，但到要打赌场输钱的机率时，我几乎晕到。天！竟然是10，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000次中只有不到1次的机会。)

以你有限的资金下注
你要记住另一个事实：就算你玩的是一个与庄家平分秋色的游戏，或者甚至你比较占优势，你还是有可能被「毁灭」。这并非必然的，但是如果你一直没办法赌下去，这是很有可能发生的事。
举个例来说，假设你今天兴冲冲地跑到一个虚拟的赌场玩「丢铜板」的游戏。一个公平的游戏就是没有庄家的优势，每把最大的赌注$1000，而你的口袋里有$5000的资金，迫不及待地想着梦想就要实现了。你每一回都想赌最大金额$1000，这就该死。你的下注法是最不可取的，你很可能会玩平手，或者标准差会让你赢一大笔钱。事实上，不会的，你会破产，就你的资金而言，你的赌注实在是下得太大了。标准差很可能让你一连输个好几次，很快就输光啰！即使你一开始手气不错，庄家也很可能会把你赢的钱又都赢走(记得，庄家有的资本几乎是无限大)。所以庄家会期待你的情势逆转，然后让你输光家当。
然而，如果每次下注1元，$5000的赌金几乎可以确保你一直玩下去，这或许和直觉听起来相反，但是如果你占有优势（或是平分秋色），最聪明的做法是你下注的金额，在震荡时若是招架得住，就能让你一直玩到最终。
(所以，很多21点算牌客，轮盘职赌等等都需要很大的本钱和资金管理。但没有真正了解概率和找到赌场漏洞时，本钱和资金管理都会成为空谈！这是我的感想。）

与优势搏斗
这种震荡让赌场的赌博更刺激，让你产生一种错觉，以为你能赢的期望值为负数的游戏。即然如此，当你赢钱时，你下的最佳赌注就是离开牌桌。简单地说，你玩得越久，你越容易接近期望值，而那通常是负数。根据这段话的推论，这样很可能减少你玩游戏的时间，跟你想达到的娱乐目的不符。相同地，如果你不具备任何优势，处理资金最聪明的方法就是孤注一掷，去冒点险，看看你是不是能赚个$50，$500，或是一次整笔输掉。这会让你减少暴露于期望值为负的地方，记住你赌得越少，你越不会遇到最终的期望值。但是这也会让你只到赌场稍作逗留而已，而你的资金也只会有两种结果，很多或全军覆没。我们将在以后讨论这些问题，以及你想在赌注中赢得些什么。
但是你要注意，有些游戏的变化性，也就是所谓的变异性却是比较大的。这类的游戏可能是因为有大笔的金钱在流通，速度也很快（例如花旗骰赌博游戏），或者是它们靠着支出量小以降低负数的期望值（如电动扑克）。这些游戏本身还好，但是必定要符合你的个性，如果你有钱又有闲跟他们周旋，不介意他们的连续输赢，他们则会给你些甜头。如果你找到一个对你有利或是期望值的负数不大时，就跟紧些吧！任何变化，他们都可能会是你最好的选择。
有关孤注一掷的真实视频在此贴http://salangane-books.com/forum ... 8936&highlight=www.salangane-books.com
（我不鼓励也不希望大家用“孤注一掷”此法，但如果你没有任何优势时，这是最聪明的方法了。)

没有什么会让赌场难堪的吗？
嗯，赌场比较不可能会有大幅震荡，并且与理论上的优势稍有出入，但这是不寻常的，也不会持续太久。对赌场的威胁越大(特别是赌场的规模越大）的就是大赌注。我说的是真正很大的赌注，或许是从$10000起跳，然后持续增加。为什么这样的赌注会让赌场经理心跳加速？因为短程机率的关系。如果一只鲸鱼（指很大手笔的赌者）刚好很幸运的话，他可能会严重地伤害到赌场的底线。赌场并没有办法总是轻松容易地「应付」这些玩家，因为短程的获利可能到达上百万，这可让一些赌场「无限」的资金显得有限多了。
赌场宁可看到100000次$1的赌注，而不愿见到一次$100000的赌注。因为100000次下注的最终结果，他们可以很肯定地说十拿九稳，但是如果就短期的单一赌注而言，他们就不敢那么确定了。而且，赌大手笔的人，并不见得会有多达足够确保让大数法则生效的人数，那就是为何赌场会设上限以保护自己，但即使如此，许多赌场却提供大金额赌者融资的服务，并且尽量讨好他们。因为这些大手笔的人通常会赌很多次，他们不会只小赌几把就走开了。赌场数字，更正确地来说，当这些鲸鱼玩得够多把时，庄家优势自然会显现，然后赌场就会赚一大笔。
传说有个日本赌者在亚特兰大城的赌场里，两天的时间就赢超过六百万。他玩百家乐牌，每次下注$200000，这家赌场想阻止他继续玩下去以减少损失，但是一位统计学家告诉他们，如果让他继续玩下去，他最后还是会输的（百家乐牌对玩家而言期望值是负的）。这位玩家似乎不想就此打住，所以他继续玩，几天以后，他欠赌场将近两百万元。另一次，他们欢迎他再回来玩，这次他输了一千万。所以，与有惊人资金的鲸鱼周旋，是有雄厚资金的赌场都愿意冒的险。
赌场还害怕什么呢？他们不想提供玩家期望值为正数的游戏，这就是为什么在赌场很难找到这样的游戏的原因。玩21点时会算牌的人，就是期望值为正的人，不是被各赌场封杀，就是会被恐吓，以弥补他们优势上的不足。那些期望值为正数的电动扑克机器，常会在那些「内行人」玩的时就消失了。基于现实考虑及贪婪的理由，赌场不可能经由庄家优势，把钱流进你的口袋里。况且，你会在赌场里看到，这种机率只会出现在几种游戏中---甚至有的游戏会有很惊人的庄家优势。如果你用最好的策略下最好的赌注，你可以大大地降低庄家的优势或者完全没有庄家优势，只有赌客优势。即使你的期望值仍为负数，数字也不会太大。如果每个玩家都那样玩，赌场虽然不会破产，不过，他们一定会冒冷汗。

小窥优势
各位，假使你吸收了我之前所说的，我相信，你就正朝着赌场的路上迈进---在金钱上或感觉上都是如此。如同我前面提过的，不幸的是，几乎所有的赌场都占有庄家优势，每种游戏的优势都会随着不同的赌注及玩家的技巧而改变。在附件A中，你将会看到大部份赌场里看到的游戏，依照庄家优势的顺序排列。从里面你可以清楚地看到，庄家优势会让它赢钱；但你也可以清楚地看到，你能让它减到最低或超越。
总而言之，那种赔率较高、只靠运气的游戏，通常庄家优势较高。当你以小额投资就可以赚大钱的时候，你要当心了。还有，新游戏，变化玩法，以及附加赌注通常对你较不利。需要技巧及思考的游戏，通常庄家优势较低。看看这些游戏，哪一种比较合你的胃口，不妨去赌场里试着玩玩看。别被那些需要事先准备的游戏打倒，对于许多赌者而言，它们会比那些光靠运气的游戏带来更多的满足感及金钱。
(各位，在附件A中的期望值不是一成不变的。如果你真的发现有漏洞，设计方法将期望值成为正值，那么恭喜你了。接下来要考虑的只剩时间、生理、心理因素了。）

小心陷阱
虽然机率和数学让你了解了赌场的运作，但误用这些规则很可能是相当危险的。例如：对「大数法则」的一知半解，是最容易造成自我毁灭的。事实上，我刚刚很犹豫是否要提这个「法则」，因为它是最容易被误用与滥用的。
对于平均值的误解通常只会发生在下列几种情形：丢十次铜板，结果有八次正面两次反面。许多赌者，不管是老手或是新手都一样，会期待出现更多反面，以示「公平」。这种常见的陷阱叫“赌者的误解”，他们以为短期的结果会类似长期的期望值。一个有误解的观察者说：「我知道铜板出现正反面的机率是50对50。如果正面出现得多的话，再来就会出现很多反面，因为它远远地地落后了。」这听起来好像很合理，但是从里面可以看出它的错误，这时候我们就要再注意我们的朋友≈「最终」。
是的，我们丢铜板次数越多，就会越接近我们期望的结果，但是这可能需要丢个上千次，而且，更重要的，那是一个比例，而非短时间的结果。在我们提到的例子中，第一次丢十次铜板，出现正反面的次数相差六次，有80%的机率出现正面；如果我们丢铜板一千次，就绝对的数字上而言，差别的次数一定更多，最终并不是那些绝对的数字会符合我们的期望值，而是百分比。它很可能会出现490次反面及510次正面（或是490次正面及510次反面），它们有20个差别，不过百分比却很接近我们所期望的≈51%正面及49%反面。你认为再接下来的20次会都出现反面以让它持平吗？当然不会。百分比会在最后接近期望值，但是我们无法预测短期内的结果，这些我们见到的偏差并不会随着时间被「修正」，而是被稀释了。
每次投掷铜板均为独立事件，铜板并不会记得它前一次投出了什么，也没有「义务」要在最终让正反两面出现次数相等。关于每次投掷及其机率均为独立事件，我们要来上更深入的一课：其中一种特殊的结果，发生的机率跟其它情形的机率是一样的。丢铜板时出现「正正正正正正正正正正」结果的机率跟出现「反正正反正反反正反反」或「正反正反正反正反正反」的机率都是一样的。它不会因为是我们认得出的排列方式，就表示它不是随机出现的。当你拿到扑克牌方块10，方块J，方块Q，方块K，方块A的机率跟你拿到梅花4，方块7，黑桃9，红心10，红心J的机率一样的，但因为我们赋予其中一种特殊价值，其它的则没有，所以当它出现的时候，看起来就比较稀有。
回家作业：如果你在玩轮盘，红色一连出现了七次，别以为接下来就「应该」出现黑色。每转一次都是独立事件，一连出现七次同一种颜色的机率是有点不寻常（约190次中出现1次），但那只是事先的估算，只要它发生了，每次转轮盘的机率仍旧是一样的。球和轮盘本身不知道它们要追上红色的数目（或是继续出现一样的，那也是一种错误）。在许多许多次以后（并非赌者所能见到的），终究会趋近于期望值。
让我在此扮演一下魔鬼代言人，用赌者错误的逻辑来辩论一下。回到轮盘上吧！你看到黑色一直出现，所以认为红色一定很快就会出现，但如果说黑色是在「弥补」昨天不够出色的表现呢？或许黑色还要继续努力，因为它在你来之前落后红色太多了。而反倒是你，可怜鬼，以为红色输给黑色，所以接下来出现的机率就比较大。
由此可见，这样的想法是何等无用愚蠢的。从现在起，当「平均法则」出现在你脑海时，请用它的同义词「大数法则」去取代它吧！然后，为了安全起见，记得提醒你自己是少量。虽然你靠大数法则去掌握你的游戏（籍由了解期望值及适当的策略），但是你并不能靠它帮你去做短期的决定与预测结果。如果我们只是想要预知未来的话，赌者的误解，及其短视近利和观点并不会造成多大伤害，特别是在一个纯靠运气的游戏里，我们为什么选择某个特定结果并不重要，只要我们聪明地下注就行了。危险的是，赌者在输的时候，认为他们的「运气」又回来了，认为平均法则会出来伸张正义，让他们赢以弥补之前所输的，也就是说会有好牌取代坏牌。这种想法是会毁了你的≈对你的心灵或是荷包都有很大的伤害。记住，赌场里的游戏期望值都是负的，如果你输钱，没有理由认为不会继续输下去。千万不要冒险下你没有把握的注，只因为你觉得你「走运」了。
上述的例子即是「知识不足是件危险的事」的最佳例子，你不能让长期机率的法则影响你的短期策略。如果说一个铜板出现10次正面，那么下次出现的机率---还是跟之前一样的！如果说有什么要提醒你的话，那我建议你选正面，因为铜板或许灌了铅。

含金量这么高的文章，看得懂的人不多 。。。。