趣味数学题

取一个正数比如12
分成2份，每份为6，再乘起来，得36
分成3份，每份为4，再乘起来，得64
分成4份，每份为3，再乘起来，得81
分成5份，每份为2.4，再乘起来得79.62624
看起来分成4份得到的乘积最大

谁能计算把1529.48分成多少分得到的乘积最大？

这个好像是按平方根来分乘积最大

dawnsail 发表于 2013-9-13 22:38
这个好像是按平方根来分乘积最大

没有依据
16分成4份，乘积=256
16分成5份，乘积=335.54432

在yyy6的大力支持下，答案应该是563！
看给定的数除以多少更接近e，2.718

不太准确。
反正，把给定的数除以x和x+1，使得两个结果分别大于及小于e，
然后答案就是x或者x+1了。

dengxianqi 发表于 2013-9-14 10:14
不太准确。
反正，把给定的数除以x和x+1，使得两个结果分别大于及小于e，
然后答案就是x或者x+1了。 ...

完全正确，老邓V5，yyy6 V5。

详解此题：
设把一个常数m分成n份，把n看成变量，那么乘在一起的结果与n有关，可写成：
f(n)=(m/n)^n
根据费马定理在f(n)取得极值时，导数为0。
f'(n)=(m/n)^n(ln(m/n)-1)
另其等于0
解得n=m/e
和n最接近的两个整数中的一个就是所求的解。

我7楼的解答是基于等分乘积最大的定理，谁给证明一下。

如果没有人证明，3天后我发布证明过程。

等分乘积最大定理证明：
设把M分成n份
分别为：X1,X2,...Xn-1,M-X1-X2-...-Xn-1
因为成绩最大，它们都大于0（实际大于1）
它们的乘积记为u
把u看成n-1元函数
u对X1的偏导数=X2.X3.  ...  .Xn-1(M-X1-X2-...-Xn-1) - X1.X2. ... .Xn-1
根据费马引理，u取得极值时u对X1的偏导数为0。
令导数为0，并整理得：
2X1+X2+...+Xn-1=M
分别对X2,...,Xn-1进行上述处理得：
X1+2X2+X3+...+Xn-1=M
...
X1+X2+...+Xn-2+2Xn-1=M
解方程组得：
X1=M/n
X2=M/n
...
Xn-1=M/n
最后一份也是M/n
证明完毕。