专门回答各类扑克概率问题

請問一下一百手牌內，不管花色是否相同，派出四次5J5J的機率有多少？
另外在六/九人桌中，FLOP有Axx和Kxx的機會率又有多少？

自己與自己 发表于 2017-9-6 10:30
請問一下一百手牌內，不管花色是否相同，派出四次5J5J的機率有多少？
另外在六/九人桌中，FLOP有Axx和Kxx的 ...

公牌面出5J5J (flop J55, turn J)的概率是0.006%
每次发牌都是独立同分布事件，因此这是一个二项分布

100次发牌中出现且仅出现4次5J5J的概率是：
(100 choose 4) * 0.006%^4 * 99.994%^96 = 5.05e-11

也可以用Poisson distribution来近似
λ = np  = 100 * 0.006% = 0.006
p = = 5.4e-11

至多4次和至少4次的概率，要累计



----------------------------
Flop Axx和Kxx的概率，跟6人桌还是9人桌完全无关。只要少于24人桌就行。那位说了，24人桌咋地了。

24人桌底牌48张，只剩4张，不够发牌了，因此AXX和KXX的概率都是0。

23人以下桌，
flop A** (含AAX和AAA）概率是21.7%,  
flop AXX (不含AXX和AAA）的概率是20.4%

flop K** (K 为最高张，含KKX和KKK）概率是18.3%
flop K** (K 为最高张，不含KKX和KKK）概率是17.1%

Howard 发表于 2017-9-7 02:41
公牌面出5J5J (flop J55, turn J)的概率是0.006%
每次发牌都是独立同分布事件，因此这是一个二项分布

那假如派一手牌派到Turn，是同花順面的機會又是多少？

自己與自己 发表于 2017-9-8 09:03
那假如派一手牌派到Turn，是同花順面的機會又是多少？

这个问题挺有意思也有点难度，谢谢提问。

flop 上的同花顺面，每种花色各有 64个，包括：
3 hi 1个 （A23)
4 hi 3个 （A24, A34, 234）
5 hi 到 Ace hi 各有6个 （A25, A35, A45, 235, 245, 345 等）

四种花色共有4*64 = 256个同花顺面。
因此flop同花顺面的可能性是256/ (52 choose 3) = 1.16%
这个概率比我想象的要高


然而这只是flop同花顺面，问题是要求转牌出现同花顺面（这里理解为board allows straightflush by the turn，而不是四缺一的同花顺面）
计算的方法有很多，但都没有太简洁的。
我能想到的方式，是利用inclusion-exclusion Rule

事件A：flop 3张同花顺面
事件B：flop 的前两张，和turn，组成同花顺面
事件C：flop的 第1、3张 和turn，组成同花顺面
事件D：flop的第2、3张 和turn，组成同花顺面

则题目要求计算的是：P (A∪B∪C∪D)

根据inclusion-exclusion Rule,
P (A∪B∪C∪D) =
P(A) +P(B) +P(C) +P(D)
- P(AB) - P(AC) - P(AD) - P(BC) - P(BD) - P(CD)
+ P(ABC) + P(ACD) + P(ABD) + P(BCD)
- P(ABCD)

其中, P(AB) 代表A且B，也就是flop 3张同花顺面，且flop 的前两张和turn组成同花顺面。
flop用了3张牌，turn还有49张供选择。

1) flop前两张是3 Gapper 或等效时，共有3张转牌可组成同花顺面，其中第三张flop占了一张，还剩2张。
包括A2 A3 A4 A5 26 37 48 59 6T 7J 8Q 9K TA JA QA KA 共16个

2) flop前两张是2 Gapper 或等效时，共有4张转牌可组成同花顺面，其中第三张flop占了一张，还剩3张。
包括23 24 25 36 47 58 69 7T 8J 9Q TK JK QK 共13个


3) flop前两张是1 Gapper 或等效时，共有5张转牌可组成同花顺面，其中第三张flop占了一张，还剩4张。
包括34 35 46 57 68 79 8T 9J TQ JQ 共10个


4) flop前两张是连张时，共有6张转牌可组成同花顺面，其中第三张flop占了一张，还剩5张。
包括45 56 67 78 89 9T TJ 共7个



1-4）共16+13+10+7 = 46个
所以，P(AB) =  P(A) * (16/46 * 2/49 + 13/46 * 3/49 + 10/46 * 4/49 + 7/46 * 5/49)
= P(A) * 0.0648
= 1.16% * 0.0648
= 0.075%

由对称性，P(AB) = P(AC) = P(AD) = P(BC) = P(BD) = P(CD) = 0.075%

三个相交的情况P(ABC)
意思是同时满足三件事
事件A：flop 3张同花顺面
事件B：flop 的前两张，和turn，组成同花顺面
事件C：flop的 第1、3张 和turn，组成同花顺面


这也就是说这四张牌的每一张跟其他任何一张都可以组成同花顺面（差距不超过4），因此
P(ABC) = P(ACD) = P(ABD) = P(BCD) = P(ABCD)

P(ABCD) 有这些：
1) 4 hi 1枚：A234
2) 5 hi - A hi 各 3枚：A235 A245 A345 2345
共28枚。乘以4个花色，共112枚。

而转牌共有52 choose 4种牌面
因此P(ABCD) = 112/ (52 choose 4) = 0.0414%

故 P (A∪B∪C∪D) =
P(A) +P(B) +P(C) +P(D)
- P(AB) - P(AC) - P(AD) - P(BC) - P(BD) - P(CD)
+ P(ABC) + P(ACD) + P(ABD) + P(BCD)
- P(ABCD)

= 4* 1.16% - 6*0.075% + 4*0.0414% - 0.0414%
= 4.31%

Howard 发表于 2017-9-7 02:41
公牌面出5J5J (flop J55, turn J)的概率是0.006%
每次发牌都是独立同分布事件，因此这是一个二项分布

最近在複習的時候看到了圖一，不禁疑惑，為什麼FLOP出Axx的機會是最高而且其他牌是偏低的？
在理論上不是所有牌出現的機會都是相等的嗎？

自己與自己 发表于 2017-9-21 05:25
最近在複習的時候看到了圖一，不禁疑惑，為什麼FLOP出Axx的機會是最高而且其他牌是偏低的？
在理論上不是 ...

解释之极端法：
考虑2-hi牌面，则它只能是222了，多难啊。A-hi可以是A84 AJ5等很多

解释之解析法：
若造成A高牌面，取一张A，则另两张可以任选[2-A]均可。
K高牌面，取一张K，另两张则不能是A，只能从[2-K]里面选择，因此难了一点
Q高，另两张只能是【2-Q】因此更难
以此类推

解释之但求结果莫问过程法：
软件模拟结果如此。

Howard 发表于 2017-9-22 04:24
解释之极端法：
考虑2-hi牌面，则它只能是222了，多难啊。A-hi可以是A84 AJ5等很多

想再請問一下，假如FLOP面是AA8，我有一張A，對家有一張A和我跟對家都是A8的機會又有多少？

另外想問一下有關以下的情境假設問題:
假設有效STACK為100BB，如果底牌為AKs、23s、22、AA、77，他們到了河牌後，每一種牌型的BB價值如何？EV又是如何？

自己與自己 发表于 2017-9-22 00:23
想再請問一下，假如FLOP面是AA8，我有一張A，對家有一張A和我跟對家都是A8的機會又有多少？

对手AX的概率：4.3% （通过模拟）

我跟对手都是A8概率（分析）
我有一张A（已知条件），另外一张是8有3种可能性。
我已经是A8时，还有一张A和两张8供它选择，有两种可能性。
总共有3*2种
而两人所有底牌组合有49 choose 2  *  47 choose 2种可能性
所求概率为 3*2/ (49 choose 2  *  47 choose 2) = 4.7e-6

自己與自己 发表于 2017-9-22 01:59
另外想問一下有關以下的情境假設問題:
假設有效STACK為100BB，如果底牌為AKs、23s、22、AA、77，他們到了河 ...

这个问题无法计算，相关的条件太多，列举几个如下：
1. 位置
2. 对手
3. 打法


好比预测梅西和内马尔明年能进几个球？但是既不说明他们在哪儿踢球，也不说他们健康情况，也不说教练会不会让他们每场都上。这种预测没什么意义