赢了一锅，损失巨大

我出个题吧，与其说是出题，不如说是请教，这题很久前就想发到论坛，书里的答案和我的不一致，一直就困惑，是不是我错了。忘记书名字了，关于大小盲推的问题。

题目大意如下：

两人HU，有效筹码为8 BB，假如大盲接小盲推（PUSH）的RANGE是40%，小盲的最佳推（PUSH）的 RANGE是多少？（百分比）。 为方便计算，把8BB 改成N BB吧。


如果小盲只用10%的RANGE推，则损失了很多盲注。
如果小盲用90%的RANGE推，尽管大盲有很多时候是弃牌的，但大盲用40%RANGE接的时候，小盲的胜率又不够。

老陈 发表于 2013-1-13 16:28
Badbeat 规则是AAATT输给四条是最低标准，赢家得5000，输家得10000。

出个题目：

二楼有效筹码为580时
我们设：
FLOP下注x
TURN Blank时下注y
TURN A时下注z

考虑TURN和RIVER两条街双方的打法，得下表：

TURN	RIVER	TURN下注	RIVER下注	概率	收益	EV
Blank	No Q	y	0	43/45*43/44	-(x+y)	-(x+y)*43*43/44/45
Blank	Q	y	All in	43/45/44	243+580+5000	(243+580+5000)*43/44/45
Q	Blank	All in	0	1/45*43/44	243+580+5000	(243+580+5000)*43/44/45
Q	A	All in	0	1/45/44	10000-580	(10000-580)/44/45
A	Blank	z	0	1/45*43/44	-(x+z)	-(x+z)*43/44/45
A	Q	z	All in	1/45/44	10000-580	(10000-580)/44/45

TURN Blank时的EV=0
(243+580+5000)/44-y*43/44=0
y=135.42

TURN A时的EV=0
(10000-580)/44-z*43/44=0
z=219.07

令表中的EV之和等于零并化简得：
43*44*x+43*43*y+43*z=(243+580+5000)*43*2+(10000-580)*2
再解出x
x=137.32

保留整数：
x=137
y=135
z=219

dfu2012 发表于 2013-1-17 07:15
我出个题吧，与其说是出题，不如说是请教，这题很久前就想发到论坛，书里的答案和我的不一致，一直就困惑， ...

大盲接的range是40%筹码是8bb
我认为用37.1875%的牌Push较好。
不知道能不能撞上一个一样的。
只要小盲用这个Range来PUSH，大盲无论用什么Range来接，都无阻止小盲的盈利。
大盲不同Range来接小盲的盈利变化如下图：

竹林居士 发表于 2013-1-18 05:26
大盲接的range是40%筹码是8bb
我认为用37.1875%的牌Push较好。
不知道能不能撞上一个一样的。

能精确到这个程度？（1326*37.1875%=493.106，直觉上感觉不像）

计算结果和我的以及书里的好像差别都很大。不知道是否我的表述有问题，因为书名很久记不得了，题目一直记得可能语义不清。

又看了遍，你的答案是37.18%是适合从1%接ALL到100%接ALL的所有RANGE，这些RANGE 推长期计算都能盈利（我感觉实战中还是要大致定位对手的RANGE，然后找到一个最佳的主动推的RANGE做参考）。

和我的问题有点出入，我的问题是当大盲是40%RANGE接的时候，小盲的最佳PUSH RANGE是多少？

能否将大致的解题思路和公式列一下。

再重复下题目并补充第2题。
-----------------
题目1：

A 。 如果知道大盲在小盲推牌之后接的RANGE是40%，小盲主动推的最佳RANGE是多大比较好？
B 。 大盲是被动接的。
------------------
我的计算是比40%的RANGE要宽，因为是我主动ALL，对方有60% RANGE的牌要放弃，不知道我理解的对不对，一般而言，这个时候都当对方是随机牌，对方一旦接了，就说明他是40% RANGE范围内的。


再多另外一个相关的题：
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题目2： 有小筹码为8BB，如果小盲用40%的牌推，大盲接的RANGE要多大才合理？
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两个题目的区别：一个是主动推的RANGE，一个是被动接的RANGE，一个主动，一个被动。


这个题确实存在，以前一直就想出了，和SAMA比赛帖子的主题很像，借这个机会拿出来讨论下，我自己可能是解错了。

顺便说下从那个帖子获得的启发：

TJS主动推 25%的RANGE是 +EV（单纯CEV看）。
但是知道对方25%的RANGE先推的话，TJS还是接不动是-EV。

先说一句，有老陈、竹林、dfu三人在论坛发帖，我之大幸也！既幸运，又幸福。

今天可能没空回dfu出的题，但我想说我对这道题很感兴趣，必然仔细研究、回复。

dfu2012 发表于 2013-1-17 20:25
能精确到这个程度？（1326*37.1875%=493.106，直觉上感觉不像）

计算结果和我的以及书里的好像差别都很 ...

设小盲Push的range为x
小盲Fold:
EV=-(1-x)/2
小盲Push大盲fold:
EV=(1-0.4)x
小盲Push大盲Call:
EV=-0.4x(x-0.4)N
EV之和对x求导数
0.5+0.6-0.8xN+0.16N
另其等于0，解出x
X=0.2+1.375/N
N=8时
x=0.371875
与竹林的计算结果一致。

老陈 发表于 2013-1-18 11:32
设小盲Push的range为x
小盲Fold:
EV=-(1-x)/2

谢谢老陈的解释，我想问题出在胜率这个地方，其实这题有实站指导意义，即短筹码的时候，已知对方RANGE，求我方PUSH RANGE.

“小盲Push大盲Call:
EV=-0.4x(x-0.4)N”
关键在这里的区别。

关键胜率不是线性的： 比如大盲40%的RANGE接，小盲用X% ALL的时候，即小盲PUSH，大盲CALL的时候，
小盲的胜率是W(N,0.4)，这个胜率和N和40%都有关，比如N=0.6时，W(0.6，0.4)=45.77%

那么小盲PUSH大盲CALL 的 总 EV=X *0.4*[ W(X,0.4)*（N+1）-(1-W(X,0.4)) * (N+0.5) ]   ，

主要是当双方的RANGE 变化时，胜率会变化。

3种情况下的EV：

EV=(1-0.4)x - (1-x)/2 + X *0.4*[ W(X,0.4)*（N+1）-(1-W(X,0.4)) * (N+0.5) ] .

不知道这个公式对不对。

我不知道W(X,0.4)的函数表达式（是否存在？），我就用笨办法，一个个试过去，当X=0.05，0.1，0.15.....0.95，用工具找出W(X,0.4)的值然后代入EV公式，然后找一个最佳值。

这个用电脑程序做一遍最安全。

老陈，建议有闲功夫的时候跑一遍你的程序，看大盲的RANGE分别是20%， 30% ， 40% 接 小盲ALL的时候，小盲用多大的RANGE PUSH好，N=5，6，...10 ,这个出一个表格。我觉得还是有点参考意义，至少当自己没位置时知道在哪个RANGE附近推会最划算。

dfu2012 发表于 2013-1-17 21:57
谢谢老陈的解释，我想问题出在胜率这个地方，其实这题有实站指导意义，即短筹码的时候，已知对方RANGE ...

请教dfu兄：
W(0.6,0.4)=45.77是怎么来的，有没有相关的资料和算法，如果有现成的我就不用费劲了。
如果用穷举的算法，计算量太大。

老陈 发表于 2013-1-18 12:27
请教dfu兄：
W(0.6,0.4)=45.77是怎么来的，有没有相关的资料和算法，如果有现成的我就不用费劲了。
如果 ...

这个是我手动从PROPOKERTOOLS网站上计算的，分别输入60%和40% .（http://www.propokertools.com/simulations）

我不知道PROPOKERTOOLS是怎么计算W(0.6，0.4)的。

我感觉，先要定义40% RANGE的含义。有以下问题和困惑。

1% RANGE 还好理解就是AA和KK，但这40% RANGE代表的是哪些牌，我可能还有些困惑，是指单挑RANDOM排名前40%的牌吗？ W(0.6，0.4)是指60% RANGE的牌对抗40% RANGE的牌的平均胜率吗？ 如果是平均胜率，那么在真正采用这个PUSH RANGE的时候还只能做个大概的参考，因为这个胜率本身就是平均化的结果，计算的时候最好是做更精细化的具体分析（受RICH在SAMA那贴的启发）。

使用Pokerstove计算了下，先把计算结果贴出来，这计算方法其实不对，所以计算结果不能起到指导作用。下贴再说为什么不对。

定义：两人单挑，翻前全进，player1的range为X，player2为前40%的牌。W(X，0.4)表示player1的赢率。
假设8BB是双方post 盲注之前的筹码深度。

Push EV是小盲拿此range全进的EV，公式：PushEV = X(1-0.4)(1.5) + (1-X)0 + X *0.4*[W(X,0.4)*16-7.5]
我的计算是按照盲注均为死钱。比如小盲Fold EV为0，而不是-0.5BB。同理，小盲推，对手fold，小盲的EV为1.5BB

注1：pokerstove中起手牌的排名是按照对三手随机牌的排名。这跟单挑中的排名会略有出入。

注2：X的值很难做到精确的整数。比如1%的牌，如果选【AA，KK】是0.9%，选【AA,KK,QQ】则是1.4%，只能按照0.9%选择AA+KK

X	W(X, 0.4)	Push EV
1%	81.5%	0.03
2%	76.4%	0.06
3%	71.6%	0.07
4%	69.6%	0.09
5%	68.3%	0.11
6%	67.0%	0.13
7%	65.3%	0.15
8%	64.1%	0.16
9%	63.1%	0.17
10%	62.5%	0.19
11%	61.8%	0.20
12%	60.6%	0.21
13%	60.3%	0.23
14%	59.4%	0.24
15%	58.7%	0.25
16%	58.1%	0.26
17%	57.3%	0.27
18%	57.1%	0.28
19%	56.7%	0.29
20%	55.8%	0.29
21%	55.7%	0.31
22%	55.5%	0.32
23%	55.0%	0.33
24%	54.6%	0.33
25%	54.3%	0.34
26%	54.2%	0.36
27%	53.5%	0.36
28%	52.9%	0.36
29%	52.8%	0.37
30%	52.4%	0.38
31%	52.2%	0.38
32%	51.9%	0.39
33%	51.7%	0.40
34%	51.5%	0.41
35%	51.2%	0.41
36%	50.8%	0.41
37%	50.8%	0.43
38%	50.5%	0.43
39%	50.4%	0.44
40%	50.0%	0.44
41%	49.7%	0.44
42%	49.4%	0.45
43%	49.4%	0.46
44%	49.0%	0.46
45%	48.8%	0.46
46%	48.6%	0.46
47%	48.4%	0.47
48%	48.1%	0.47
49%	48.0%	0.48
50%	47.8%	0.48
51%	47.6%	0.48
52%	47.4%	0.49
53%	47.1%	0.48
54%	47.0%	0.49
55%	46.7%	0.49
56%	46.5%	0.49
57%	46.4%	0.50
58%	46.3%	0.50
59%	46.1%	0.50
60%	45.8%	0.50
61%	45.6%	0.50
62%	45.5%	0.50
63%	45.3%	0.50
64%	45.2%	0.51
65%	45.0%	0.51
66%	44.8%	0.51
67%	44.7%	0.51
68%	44.5%	0.51
69%	44.4%	0.51
70%	44.3%	0.51
71%	44.1%	0.51
72%	44.0%	0.52
73%	43.8%	0.51
74%	43.7%	0.52
75%	43.6%	0.52
76%	43.5%	0.52
77%	43.4%	0.52
78%	43.2%	0.52
79%	43.0%	0.52
80%	42.9%	0.52
81%	42.7%	0.51
82%	42.6%	0.51
83%	42.5%	0.51
84%	42.4%	0.52
85%	42.3%	0.52
86%	42.2%	0.52
87%	42.0%	0.51
88%	41.9%	0.51
89%	41.8%	0.51
90%	41.7%	0.51
91%	41.5%	0.51
92%	41.4%	0.51
93%	41.3%	0.51
94%	41.2%	0.50
95%	41.1%	0.50
96%	41.0%	0.50
97%	40.9%	0.50
98%	40.7%	0.49
99%	40.6%	0.49
100%	40.5%	0.49