筹码的面值怎样设计最好

我们玩扑克要用到多种筹码。
在Calgary 经常用到的有0,5$,1$,5$,25$,100$，有时也用500$,但很少使用。在拉斯维加斯，也见过2$、3$和20$的筹码。

下面我出一道题。
我们只考虑整数筹码，1，2，...N
这里N相当大
我们来设计一套筹码，使得
组成各种筹码量使用的筹码个数
的总和（这一行是后加的）
和
筹码的种类
乘积最小。
假设Dealer 都使数学家。

是说一套筹码能表示1到N 问这样一套筹码怎么设计个数和种类乘积最小？

可能没打过现场，这题目理解上有点困惑，是否要加一个“之和”？
即“组成各种筹码量使用的筹码个数
和
筹码的种类
乘积之和最小”

比如当N=2时，筹码种类分别是1种（1）和2种（1,2）时.  这个乘积（之和）分别是多少？这个搞清楚了，后面解题就比较顺利点。

我想这类题的基本思路是当N=1，2，3...N-1的时候，找规律，找出N和N-1之间的关系和规律，然后求解。

如果是我理解的意思 那么是一个在m^k>N的constrain下最小化（m-1）*k^2的问题 比如N=4095, m应该是4 k是6。 这套筹码就是3个1 3个4 3个16 3个64 3个256 3 个1024

yyy6 发表于 2012-12-19 21:12
如果是我理解的意思 那么是一个在m^k>N的constrain下最小化（m-1）*k^2的问题 比如N=4095, m应该是4 k是6。 ...

晕,没想到yyy6也是数学大家

Jsli 发表于 2012-12-19 21:44
晕,没想到yyy6也是数学大家

Jsli你现在在哪呢？我凯撒呢

抱歉原题没表达清楚，dfu给我指出了毛病。是应该加一个之和。

我举一个例子：
比如N=100
如果只使用1$的筹码，那么表示1到100，总数就是1+2+....+100=5050
再乘以筹码种类数1=5050

如果使用1$和3$两种筹码
1$用1个筹码
2$用2个筹码
3$用1个筹码
27用9个筹码
表示1到100分别用1,2,1,2,3,2,...,.33,34
加起来为1750
乘以种类数2等于3500

说明使用1$和3$这一方案比只使用1$的方案要好。

伟大的墙 发表于 2012-12-19 21:50
Jsli你现在在哪呢？我凯撒呢

快散了
我准备转战贝拉胶

伟大的墙 发表于 2012-12-19 07:53
快散了
我准备转战贝拉胶

这点儿该睡觉了吧？

老陈 发表于 2012-12-19 21:52
抱歉原题没表达清楚，dfu给我指出了毛病。是应该加一个之和。

我举一个例子：

这样的话，不知道是否我的算法太笨而且很可能是错的：

令m为筹码种类，先假设我们固定m。那么当k=N^1/m正好为整数时，采用1， K, K^2... K^(m-1)的设计，会得到最小和[m/2×N×(k-1)+k], （为什么这么设计和最小是可以递推的，对于ｍ＝２的时候，会等价于一个最小化Ｎ／ｋ＋ｋ的问题，那么ｋ一定是根号Ｎ）

比如N=100，我们要求只用2种筹码即m=2，则最好的选择是1和10（k=10）， 和为910，积为1820. 所以变为如何选择m最小化[m/2×N×(k-1)+k]×ｍ。因为N很大可以简化为最小化m^2*（N^1/m）. 求导后可以得出m = 0.5×ln（N）

k不正好为整数的时候需要m = ceiling（0.5×ln（N))， 比如

N=100的时候m=3，    这套筹码为1，5，25，和为554。乘积为1662.
N=1E10的时候m=12，这套筹码为1，7，7^2, 7^3.....7^11, 和约为3.6e11, 乘积约为4.32e12.