强听牌的转牌打法，check or bet？

【后补：蒙情迷奥马哈和diaodiao两位朋友指出错误，下面已经修正，红字为原来的错误文字】

1-2NL 9人桌，前面溜进三十多个人，我在纽扣J T加到12，三个人跟进来。
翻牌A Q 5，两人过，HJ位置老头下25，我加到80，前两人均扔，老头跟。单挑。
抽水后锅里200，剩余有效筹码150。
转牌8，我从12个坚果out变成15个。老头过牌
我在check与push间权衡片刻，推了全进，老头持A 9跟。


将此问题模型化：
1. 转牌上对手领先，自己有15out的听牌。
2. 有效筹码为3/4 pot
3. 对手在前面过牌。轮到我们反应
4. 忽略其他选择，仅比较check与全进
5. 如果check，河牌错过之后bluff不会成功，对手100%跟。
6. check转牌，河牌听到，仍能完全得到对手全部筹码
问题：EV临界点之对手转牌fold f%？

解：
全进EV可分解为两部分：
   对手fold： (f) * pot
   对手call：(1-f) * 【15/46 * 2.5pot - 0.75pot】

check EV 为：15/46 * 2.5pot
改为：15/46 * 1.75pot

令全进EV=check EV，
   (f) * pot + (1-f) * 【15/46 * 2.5pot - 0.75pot】 = 15/46 * 2.5pot
改为： (f) * pot + (1-f) * 【15/46 * 2.5pot - 0.75pot】 = 15/46 * 1.75pot

解得 f = 80%
改为：f = 54.1%

只有当判断对手有超过80%  54.1%弃牌率时，推全进才是+EV的。

【后记：本文有改动】

推广之一：将条件2修改一下，从
【2. 有效筹码为3/4 pot】
改为更广泛的
【2. 有效筹码为a*pot】

则临界点f = 31a/(31+16a)

可见f是随a增加而单调增加的，但并非线性关系。


a        f
0.05        0.05
0.10        0.10
0.15        0.14
0.20        0.18
0.25        0.22
0.30        0.26
0.35        0.30
0.40        0.33
0.45        0.37
0.50        0.40
0.55        0.43
0.60        0.46
0.65        0.49
0.70        0.51
0.75        0.54
0.80        0.57
0.85        0.59
0.90        0.61
0.95        0.64
1.00        0.66
1.05        0.68
1.10        0.70
1.15        0.72
1.20        0.74
1.25        0.76
1.30        0.78
1.35        0.80
1.40        0.81
1.45        0.83
1.50        0.85
1.55        0.86
1.60        0.88
1.65        0.89
1.70        0.91
1.75        0.92
1.80        0.93
1.85        0.95
1.90        0.96
1.95        0.97
2.00        0.98
2.05        1.00
2.10        1.01
2.15        1.02
2.20        1.03


由此可见：
1. a=2.05时，f达到100%。也就是说剩余筹码大于2.05pot，即使对手fold 100%，也不如等免费张。
2. 当对手喜欢big laydown，且剩余筹码较浅，应倾向于全进。
3. 一般来讲剩余筹码大于1.35pot (f=80%)，应该等免费张


德芙或者老陈能否把这个问题继续扩展一下？仍然是转牌面对单一对手，轮到自己反应。
1. 自己有12 out （flush draw + gutshot）
2. 自己有9 out （naked flush draw）
3. 自己有8out （顺子听）
4. 自己有7out （听花，但对手是set）
5. 自己4 out （gutshot）

关键是转牌根本不scare，老头不可能弃给你任何他翻牌call 你的牌。他在转牌能弃给你的牌，早就在翻牌弃给你这么大的raise了。要知道你做了个3.5的raise，这是多么坚实和严肃的加注。你转牌的push 让他翻牌这个负ev的跟注变成了正ev。


不过倒是可惜了这么漂亮的牌。

我比较奇怪的是，为什么老头会认为A9这里没有弃牌率？

不过，一般认为，身后有效筹码越深，没位置时拿着边缘牌的人越担心，应该弃牌率越大才对啊。
比如你们后手都还有10倍 pot，转牌继续0.8 pot，没位置的人拿着A9顶对无kicker没有任何draw，
如何能进行下去呢？

Howard 发表于 2012-11-30 02:04
推广之一：将条件2修改一下，从
【2. 有效筹码为3/4 pot】
改为更广泛的

粗线条说下我的看法，该计算有个重要前提，即：6. check转牌，河牌听到，仍能完全得到对手全部筹码。

一般我方河牌听到，能得到对手全部筹码分为2种： A对方是跟注站。B.或者对方已经套池，即剩下的筹码不多了。

所以计算的结果对于 a > 1.03的情况要看对手和身后筹码量，a过大的话，可能要引入对手河牌支付率的参数，计算公式可能要调整。

比如a=3, 当我方中了梅花听牌，对方很可能不会全部支付，即河牌还要引入一个参数对手的中牌支付率，这个中牌支付率又和对手的手牌强度有关，如果是SET，就算是REG，也不容易放弃（如同小对子博SET清光岩石的AA就很容易）。

个人感觉，从火花的计算看，深筹码对于同花听牌是非常有利的， 可以TURN上诈唬，也可以TURN上CHECK 藏牌做河牌的价值注（潜在底池赔率），打法非常的灵活。根据对手调整。对手是跟注站，就CHECK藏，到河牌听中就狠狠的敲他，如果对手是紧弱型的有弃牌率的，TURN上要狠狠的诈唬，TURN上的打法是深筹码的转折点，非常灵活，同样的牌，面对不同的人完全相反的打法，都是合理的。

小马有个帖子（这牌丢的对吗）特别好，和这个主题很类似，好就好在没有给出CO的底牌，所以有了无穷种可能，给思考留下了空间，不以一手牌的输赢论好坏，而是从一手牌的进程发展中得到经验和教训，本来那贴我想了很多，火花出了这题，有相似的地方，顺便说说。

TURN上不同OUTS的计算，如果是深筹码的话，4OUTS，根据对手的特点，要么弃牌（多数是这么做），要么根据牌局的动态和对手的类型在精准的读牌前提下做发动超级诈唬的准备，4 OUTS的摊牌赢率没有意义了，主要是对方的弃牌赢率。

最近打算对对手类型的分法做改变，主要是为了计算和分析方便：

从RANGE上看：  松  紧， 从激进程度看分： 弱 凶 疯 ，激进程度决定了支付率和弃牌率，RANGE决定了起手牌的质量。总共6种角色类型，人的角色也会动态变化，随位置也会动态变化，BTN位是松凶，UTG位会是紧凶甚至紧弱。有些人受刺激会从松弱突然变成松疯。越是高级的玩家，角色变化的越多，实战中的德州数学计算之难，简化之难（能简化的都是有丰富实战经验的），望而却步。

check的EV应该是15/46*1.75pot吧
全进的EV似乎也不对
f*Pot+(1-f）*【-16/45*2.5Pot】
16/45=31/45-15/45

如果确定对手河牌会跟注你的价值全下，那么这里就隐藏了一个前提，转牌全下对手也会百分之百跟。
解得f=1.3...
这个牌告诉我们的是，在SPR系数很小的前提下，超级听牌在转牌能够便宜的过牌是合算的，哪怕有15张的out；SPR很小的前提下，不应该放弃顶对。

我觉得一个问题是这个6的假定，如果是超深筹码下，如果6仍然成立，那么当然是等免费张了
6. check转牌，河牌听到，仍能完全得到对手全部筹码

好像霍大这回计算有误
全进收益可分解为两部分：
   对手fold： (f) * pot
   对手call：(1-f) * 【15/44 * 1.75pot - 29/44 * 0.75pot】

check 收益 为：15/44 * 1.75pot

turn上15个outs约等于1/3了
解得 f = 55%，这个数据我觉得应该比较接近第一感觉
不然这个强draw的牌力有点弱了

另外，对手call了flop的raise，应该把你大概率放在flush draw上，river出花应该不会pay，出顺的话比较隐蔽
所以check的收益又可细化为
9/44 * pot+6/44 * 1.75pot
这样f=38%，所以river的payoff越小，turn上需要的弃牌率越低

好久没碰数学了，以前都是直接拿来用 算了好多遍，好惶恐。。。

FLOP CHECK/RAISE就是想打弃牌率，既然对手不弃牌就不要勉强了
这牌也许可以BET/BET/BET