闲着没事，弄道数学题，大家来算一下

这回我仔细解一下：


设某一时刻加热水的量为V，池内温度为T，
每次加入dV体积的75度的水，产生的温度变化为dT。
得到如下关系式：
dT=（75-T）／300*dV
dV/dT=300／（75-T）
当dT和dV都趋近于零时，就是T对V的导数，找出原函数：
V=-300ln(75-T)+D
其中ln是自然对数，D为任意常熟
进行一下变换得到：
T=75-C*Exp(-V/300)
C是一个任意常数，与D的数值和意义都不同
当V=0时T=15
解出C=60
即：
T=75-60Exp(-V/300)
令T=35
V=-300*ln((75-35)/60)=121.64

竹林不错不错，活学活用

竹林居士 发表于 2012-12-1 04:34
这回我仔细解一下：

回归本质了，简单而精妙阿

惭愧我的都忘光光了。

竹林居士 发表于 2012-11-30 12:34
这回我仔细解一下：

解法完全正确。

老陈这个题确实好，竹林的解答也非常的干净简洁。

我试着用原始的方法来求解这题，

令 f(0)=15，每次加1/N升水作为一个变化单位，N为整数，总共加入体积x升水后的温度为f(x)，则：

f(x+1/N)=(75/N+300*f(x))/(300+1/N) =（75+300N*F(X))/(300N+1),若以1/N升水为1个变化单位，那么x相应也转换为以1/N做单位,实际加水量V=X/N升，X这个时候为整数：

f(x+1)*(300n+1)=75+300N*F(X), (f(x+1)-f(x))/(f(x)-f(x-1))=300n/(300n+1)，初始条件F(0)=15

解得：F(X)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^X-60/(300N+1），X=VN（V即以升做单位时候的加水量），当N趋向无穷大时，60/(300N+1）可忽略为0，F(X)亦即加水V升后的温度，

即：F(V)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^VN=75-60*（（300N/(300N+1))^VN）

（300N/(300N+1))^VN=（1+1/300N）^(-NV)=（（1+1/300N）^(300N*(-V/300))

已知当N趋向无穷大时 自然常数E =(1+1/N)^N, 即（1+1/300N）^300N = E

那么（300N/(300N+1))^VN= E^(-V/300)=EXP(-V/300),

即： F(V)=15 + 60*EXP(-V/300)

和老陈竹林的结果一致。

咱农耕时代的原始武器也能击中猎物，殊途同归啊。

：）

dfu2012 发表于 2012-12-4 04:14
老陈这个题确实好，竹林的解答也非常的干净简洁。

我试着用原始的方法来求解这题，

解法精妙，虽说过程复杂一点，但从建模到推理每一步都非常严谨。和竹林走的不同路，到达了同一终点。佩服二位。
但dfu兄的结果是不是：
F（V）=75-60EXP（-V／300）
球运到了接近球门线，无人防守，是不是故意让别人射门啊？

我的计算过程和dfu相近

共加入V升，每次加入1/N升
得：
F(1/N)=F(0)+(75-F(0)/300/N=F(0)(1-1/300/N)+75/300/N
F(2/N)=F(1/N)(1-1/300/N)+75/300/N
F(3/N)=F(2/N)(1-1/300/N)+75/300/N
…
F((k-1)/N)=F((k-2)/N)(1-1/300/N)+75/300/N
F(k/N)=F((k-1)/N)(1-1/300/N)+75/300/N
将F(1/N)代入到F(2/N)
得：
F(2/N)=F(0)(1-1/300/N)^2+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)
再将F(2/N)代入到F(3/N)
得：
F(3/N)=F(0)(1-1/300/N)^3+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)+ 75/300/N(1-1/300/N)^2
….
到最后一行时得到：
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)+ 75/300/N(1-1/300/N)^2+…+75/300/N(1-1/300/N)^(k-1)
计算得到：
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75/300/N(1-(1-1/300/N)^k)/(1-(1-1/300/N))
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75(1-(1-1/300/N)^k)
当k/N=V时
F(V)=F(0)(1-1/300/N)^(NV)+75(1-(1-1/300/N)^(NV))
当N趋于无穷大时
Limit  (1-1/300/N)^(NV)=exp(-V/300)
F(V)=F(0) exp(-V/300)+75(1- exp(-V/300))
代入F(0)=15
F(V)= 75-60 exp(-V/300))

老陈 发表于 2012-12-4 20:57
解法精妙，虽说过程复杂一点，但从建模到推理每一步都非常严谨。和竹林走的不同路，到达了同一终点。佩服 ...

没错，是 F(V)= 75-60 exp(-V/300))，纯粹是笔误，可能是稀里糊涂黏贴了下面原贴中前面的“15+。。。”，已经是这种错误的惯犯了。

原贴中有这一句“即：F(V)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^VN=75-60*（（300N/(300N+1))^VN）”，

后面的就是 F(V)=75-60*（（300N/(300N+1))^VN),最终一致。


刚看到你新的题目，才注意这题更新回复了。

我靠

  I 服了 你们了   哈哈  ！！！！！！