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楼主: 老陈
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闲着没事,弄道数学题,大家来算一下

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11#
竹林居士 发表于 2012-12-1 02:34:06 来自手机 | 只看该作者
本帖最后由 竹林居士 于 2012-11-30 15:13 编辑

这回我仔细解一下:


设某一时刻加热水的量为V,池内温度为T,
每次加入dV体积的75度的水,产生的温度变化为dT。
得到如下关系式:
dT=(75-T)/300*dV
dV/dT=300/(75-T)
当dT和dV都趋近于零时,就是T对V的导数,找出原函数:
V=-300ln(75-T)+D
其中ln是自然对数,D为任意常熟
进行一下变换得到:
T=75-C*Exp(-V/300)
C是一个任意常数,与D的数值和意义都不同
当V=0时T=15
解出C=60
即:
T=75-60Exp(-V/300)
令T=35
V=-300*ln((75-35)/60)=121.64
12#
bedok 发表于 2012-12-1 23:41:15 | 只看该作者
竹林不错不错,活学活用
13#
maomaobiao 发表于 2012-12-2 06:18:22 | 只看该作者
竹林居士 发表于 2012-12-1 04:34
这回我仔细解一下:

回归本质了,简单而精妙阿

惭愧我的都忘光光了。
14#
 楼主| 老陈 发表于 2012-12-2 07:30:30 来自手机 | 只看该作者
竹林居士 发表于 2012-11-30 12:34
这回我仔细解一下:



解法完全正确。
15#
dfu2012 发表于 2012-12-4 18:14:24 | 只看该作者
老陈这个题确实好,竹林的解答也非常的干净简洁。

我试着用原始的方法来求解这题,

令 f(0)=15,每次加1/N升水作为一个变化单位,N为整数,总共加入体积x升水后的温度为f(x),则:

f(x+1/N)=(75/N+300*f(x))/(300+1/N) =(75+300N*F(X))/(300N+1),若以1/N升水为1个变化单位,那么x相应也转换为以1/N做单位,实际加水量V=X/N升,X这个时候为整数:

f(x+1)*(300n+1)=75+300N*F(X), (f(x+1)-f(x))/(f(x)-f(x-1))=300n/(300n+1),初始条件F(0)=15

解得:F(X)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^X-60/(300N+1),X=VN(V即以升做单位时候的加水量),当N趋向无穷大时,60/(300N+1)可忽略为0,F(X)亦即加水V升后的温度,

即:F(V)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^VN=75-60*((300N/(300N+1))^VN)

(300N/(300N+1))^VN=(1+1/300N)^(-NV)=((1+1/300N)^(300N*(-V/300))

已知当N趋向无穷大时 自然常数E =(1+1/N)^N, 即(1+1/300N)^300N = E

那么(300N/(300N+1))^VN= E^(-V/300)=EXP(-V/300),

即: F(V)=15 + 60*EXP(-V/300)

和老陈竹林的结果一致。

咱农耕时代的原始武器也能击中猎物,殊途同归啊。

:)


16#
 楼主| 老陈 发表于 2012-12-4 20:57:45 来自手机 | 只看该作者
本帖最后由 老陈 于 2012-12-4 16:20 编辑
dfu2012 发表于 2012-12-4 04:14
老陈这个题确实好,竹林的解答也非常的干净简洁。

我试着用原始的方法来求解这题,


解法精妙,虽说过程复杂一点,但从建模到推理每一步都非常严谨。和竹林走的不同路,到达了同一终点。佩服二位。
但dfu兄的结果是不是:
F(V)=75-60EXP(-V/300)
球运到了接近球门线,无人防守,是不是故意让别人射门啊?
17#
 楼主| 老陈 发表于 2012-12-7 18:13:56 | 只看该作者
本帖最后由 老陈 于 2012-12-7 04:35 编辑

我的计算过程和dfu相近

共加入V升,每次加入1/N升
得:
F(1/N)=F(0)+(75-F(0)/300/N=F(0)(1-1/300/N)+75/300/N
F(2/N)=F(1/N)(1-1/300/N)+75/300/N
F(3/N)=F(2/N)(1-1/300/N)+75/300/N

F((k-1)/N)=F((k-2)/N)(1-1/300/N)+75/300/N
F(k/N)=F((k-1)/N)(1-1/300/N)+75/300/N
将F(1/N)代入到F(2/N)
得:
F(2/N)=F(0)(1-1/300/N)^2+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)
再将F(2/N)代入到F(3/N)
得:
F(3/N)=F(0)(1-1/300/N)^3+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)+ 75/300/N(1-1/300/N)^2
….
到最后一行时得到:
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75/300/N+75/300/N(1-1/300/N)+ 75/300/N(1-1/300/N)^2+…+75/300/N(1-1/300/N)^(k-1)
计算得到:
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75/300/N(1-(1-1/300/N)^k)/(1-(1-1/300/N))
F(k/N)=F(0)(1-1/300/N)^k+75(1-(1-1/300/N)^k)
当k/N=V时
F(V)=F(0)(1-1/300/N)^(NV)+75(1-(1-1/300/N)^(NV))
当N趋于无穷大时
Limit  (1-1/300/N)^(NV)=exp(-V/300)
F(V)=F(0) exp(-V/300)+75(1- exp(-V/300))
代入F(0)=15
F(V)= 75-60 exp(-V/300))
18#
dfu2012 发表于 2012-12-8 21:13:03 | 只看该作者
老陈 发表于 2012-12-4 20:57
解法精妙,虽说过程复杂一点,但从建模到推理每一步都非常严谨。和竹林走的不同路,到达了同一终点。佩服 ...

没错,是 F(V)= 75-60 exp(-V/300)),纯粹是笔误,可能是稀里糊涂黏贴了下面原贴中前面的“15+。。。”,已经是这种错误的惯犯了。

原贴中有这一句“即:F(V)=15+60*(1-(300N/(300N+1))^VN=75-60*((300N/(300N+1))^VN)”,

后面的就是 F(V)=75-60*((300N/(300N+1))^VN),最终一致。


刚看到你新的题目,才注意这题更新回复了。
19#
yidunxun 发表于 2013-1-16 11:42:29 | 只看该作者
我靠

  I 服了 你们了   哈哈  !!!!!!
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