闲着没事，弄道数学题，大家来算一下

有个水池容积300升，装满15度（摄氏度，下同）的水。逐渐加入75度的水，池子里的水就逐渐溢出。问加入多少升75度水时，池子里的水温升高到35度？
假设：加入热水后，池子里的水迅速变成相同温度；过程中与外界没有热交换。

试一下：
如果排溢出都是15度，则加入100升75度的水，池中的水就可以达到35度。可是溢出的水温度不断升高，这就导致热量＂损失＂，因此必须多加热水。估计答案在121和122之间，以后再详细计算。

@德芙！强烈要求dfu来试一试。

这题两个“隐含条件”

热交换率无限大（热容=0）

总水量保持不变（单位时间的体积变化为 0），虽然加水的速度不知道，但是对于最后的体积计算应该不影响。

粗略想了一下，是个简单的常积分，但是积分项之中有原函数。怎么转化求解都忘光光了。。。。

好在知道偷懒，加水的速度取极端的条件就可以了，就是一次交换瞬间完成达到温度35

上升20，下降40，原总体积300，加入的水的体积就是150。

待验证。

maomaobiao 发表于 2012-11-29 19:31
这题两个“隐含条件”

热交换率无限大（热容=0）

经验证，加入150升75度的水，池内水温将升至38.6度。

假设总共加入了x升水，那么排出的也是x升水
当每次加入的水都很少的时候
排出的水温从15度连续到35，那么排出的x升水应该平均温度在25度
300*15+75*x = 300*35 + 25*x
x=120

notch 发表于 2012-11-29 23:57
假设总共加入了x升水，那么排出的也是x升水
当每次加入的水都很少的时候
排出的水温从15度连续到35，那么排 ...

水温开始升高得快，后来升高得慢，不是线性的，这样导致排出的水平均温度高于算术平均值。也就是说，加入120升，水温达不到35度。

假设每次的水温变化满足如下公式：

令 f(0)=15，每次加y升水作为一个变化单位，总共加入x升水后的温度为f(x)，则：

f(x+y)=(y*75+300*f(x))/(300+y)。令y=0.001，越小精度越高

EXCEL做个公式自调用，当F(X)=35，得出需要加的水大约=121.65升. 。
这个解法有点投机取巧，而且也不知道对不对。

dfu2012 发表于 2012-11-30 05:16
假设每次的水温变化满足如下公式：

令 f(0)=15，每次加y升水作为一个变化单位，总共加入x升水后的温度为f( ...

精妙！坐等老陈评论

dfu算的与精确结果最接近，我也经常使用模拟的方法来解决一些复杂的问题。
这个结果误差很小，产生原因是每次加入无穷小，才与精确结果更接近，但用Excel 太小了计算次数就会增多，产生的舍入误差增大，难以两全。