恒星距离引发的疑案

今天中午正在吃午饭，不知为什么，我突然想起恒星距离的话题。仅在银河系，就有一千亿颗以上的恒星，而最近的恒星到我们也有4光年多，算成英里那得数不清多少零了。

由此又想到，在晴朗的夜空随便指一颗恒星，其跟地球的距离大概是高度随机的，因为恒星距离地球横跨若干个数量级，最近的几光年，而银河系有十万光年尺度。就算不理会其河外星系，这随机度也足够了，至少够我下面这个实验：

这实验测定该恒星和地球距离，用英里来表述，则此数字的最高位，感觉应该是个纯随机数，在1-9之间均匀分布。 这结论应该没什么问题，你凭啥说3百亿多英里就多于或者少于6百亿多英里的

或者，再加一个前提，假设宇宙所有恒星均可见，这样就避免了“可视范围太窄”这样的非数学因素捣乱。

这结论出来后，再把这星地距离从英里换算为公里，就很有意思。

英里乘以1.6得到公里数，这大家都知道。

最高为9/8/7和部分6开头的英里数，换算为公里之后，其最高为都变成了1
比如，7亿英里变成11.2亿公里。

如果英里数的最高位（以下简称m）是1-9均匀分布，那么公里数的最高为（以下简称k）就不是均匀分布了，而且差别很大。
k是1的概率，远高于是其他任意一个数字的概率

这显然是荒谬的。因为英里和公里在这里是人工随便选择的，并不具有特殊意义，按照上述逻辑，如果我一上来就用公里测量的话，k就是应该符合1-9均匀分布的哪一个。

问题出在哪里？

后来我找到了本福特定律也叫首位数定律

很有意思。问题出在哪呢？怎么就收敛了呢？直觉上这是智商140 的分界线。和霍爷开个玩笑，该不是题做多了，自己给自己出题了，当然下意识的还要有完美的解答。

看到第一段，莫名想到了big bang里各种食堂的镜头，恩，里面也有一个howard

蓝色的海龟 发表于 2015-6-5 06:51
很有意思。问题出在哪呢？怎么就收敛了呢？直觉上这是智商140 的分界线。和霍爷开个玩笑，该不是题做多了， ...

很有意思。问题出在哪呢？怎么就收敛了呢？直觉上这是智商140 的分界线。
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IQ 130, 3/1000
IQ 140, 3/10,000
...
IQ 180, 3/100,000,000




美国2000个连环杀人犯， IQ 70-  -- 180+。
有好几个IQ 140 -- 180+的。
2000个普通人大约1个智力140。
IQ 180, 一亿人中只有3个

能解这题的人智力140
妥妥的

有SB说日本人平均智力130， 那是外星人吧,

问题就出在 “高位1-9均匀分布”这个假定上。事实上并不是均匀分布的

所有恒星到地球距离，用英里来表示，其高位分布大概是这样的：


1打头的最多，2打头次之，直到9打头的最少。

这个分布叫做本福特定律。符合本福特定律的分布牛逼在这么几个地方：

1. 单位无关。 无论你把英里换成公里、里、毫米、英尺、码、英寸、光年、一乍、一步、一根黄瓜、一头发丝，它都不会改变。

2. 不光恒星距离符合本福特分布，很多（但不是全部）现实生活中的数据的首位，都符合本福特分布。比如：纽约股市内所有股票价格，所有国家人口、所有人钱包里的钱数、人体内细菌数、商场内所有销售金额、一本科技杂志里面出现的所有数字，等等

符合本福特定律的数据，要求要跨至少几个数量级。如果就绝大部分都集中在一个数量级，那就不行。
比如成年人身高，用米的话基本都是1，用英尺基本都是4到6
再比如智商，一半的人都是1
再比如考试分数，100满分的话，绝大多数人都是两位数，首位会集中在5-9

3. 符合本福特定律的数据，貌似他们并不需要有特定的分布，比如恒地距离，你说它是什么分布，也不均匀也不指数，还成团的，一个星系在的地方会有大量恒星，星系之间则大范围空白

4. 本福特定律可以用于测定一组数据是否造假。因为人类造“随机数”的能力很差，你让他随机编造一组理应符合本福特定律的数据，他会倾向于把首位数弄的类似均匀分布，就像我在1楼自己直觉想象的那样。如果你观察到高位为1居然只有10%，那这组数据多半为人造

那么好的科普贴，版主还不出精。

首位数不是随机分布的，末位数是。如果是十进制，首位数与单位无关。

老霍打个酱油都这么高深。

本福特定律的数学表达是：

一堆符合本福特定律的数字，其最高为数字为d，则d出现的概率满足：
P(d) = log(d+1) - log (d)
注：log 以10为底

这什么意思呢？也就是说，最高位的概率满足对数尺度的均匀分布。或者再说开了，也就是说所有的数据都满足对数尺度的均匀分布。

什么叫对数尺度？可能大家看股市走向是接触最多。下面道琼斯近30年来的图形。第一个是正常尺度，第二个是对数尺度：


在正常尺度下，显示的是绝对数值的变化，所以前期股市的波动都变得无限小，后面的波动现得很大。
而对数尺度下，股市从100点到150点，其变化看起来跟10000点到15000点一样的规模。

对数尺度在数轴上的表示是这样的：


如果把恒地距离、股市指数等数据标注在这个数轴上，应该是大致均匀分布的。

本福特定律不仅可以预测最高为，还可以预测第二位。

上贴的式子提到，一堆符合本福特定律的数字，其最高为数字为d，则d出现的概率满足：
P(d) = log(d+1) - log (d)
注：log 以10为底

其实，把最高位d换成数字本身n，一样成立。
P(n) = log(n+1) - log (n)

这样，我们就可以计算第二位数字的出现频率。

比如，“2”出现在首位的概率是17.6%，那么2出现在次位的概率是多少？
2出现在次位，首位可以是1到9
所以只需计算前两位是12、22、32.。。。。。92的概率，加起来就行了

log(13)-log(12)  + log(23)-log(22)  + .....  + log(93) - log(92) = 0.109

第二位可以取0，所以有10种可能，如果平均分布是0.1

可见次位的分布就均匀的多了。到了末位，基本就跟7楼说的一样，均匀分布了。