破产风险计算公式的推导

以前我在大厅里发表过一个帖子，推导了破产风险的计算公式，但在那个帖子里分3次写的，比较凌乱，使用的代号也不够规范，推导过程也绕了好大弯子，有必要重新整理一下。 使用符号(注意大小写不一样)： p：单次赌博赢的概率 q：单次赌博输的概率 P(k):资金为k时的破产概率 B：资金(美元) b：每次下注量 W：盈利能力(美元) S：盈利能力标准差(美元) N：以前赌博样本数(小时) 使用例子： 设计一个游戏，用100张卡片，红色的55张，白色的45张。 随机抽取一张卡片，如果时红色，甲赢乙输，如果时白色，乙赢甲输。 初始甲有100美元，乙有100亿美元，每次下注1美元。 求甲破产的概率。 P(0)=1，宣布破产 甲的资金有p可能变成B+1，有q可能变成B-1。下面式子不难理解： P(B)=pP(B+1)+qP(B-1) pP(B)+qP(B)=pP(B+1)+qP(B-1) 也可以写成： P(B+1)-P(B)=(q/p)(P(B)-P(B-1)) 那么： P(2)-P(1)=(q/p)(P(1)-P(0)) P(3)-P(2)=(q/p)(P(2)-P(1))=(q/p)^2(P(1)-P(0)) P(4)-P(3)=(q/p)(P(3)-P(2))=(q/p)^3(P(1)-P(0)) …… P(B+1)-P(B)=(q/p)^B(P(1)-P(0)) P(m)-P(B)=(P(m)-P(m-1)) +  …+ (P(B+1)-P(B)) 求和得 P(m)-P(B)＝(P(1)-P(0))((q/p)^B-(q/p)^m)/(1-q/p) 当m=0时： 1-P(B)=(1-P(1))(1-(q/p)^B)(1-(q/p)) 当m趋于无穷大时，也就是钱无穷多是P(m)趋于0,不会破产 P(B)=(1-P(1))(q/p)^B/(1-(q/p)) 得： （1-P(B))/P(B)=(1-(q/p)^B)/(q/p)^B P(B)=(q/p)^B 如果每次下注量为b美元 显然： P(B)=(q/p)^(B/b) 解释：甲有10000美元每次下注100美元的破产概率，与甲有100美元每次下注1美元的破产概率是一样的。 如果继续玩的EV与现在的盈利能力一样，则有： EV=(p-q)b=W     //EV=(55/100-45/100)100=10=W p+q=1 解得： p=1/2+W/2/b      //55% q=1/2-W/2/b      //45% 考虑盈利标准差： S^2=1/N*Σ(p(b-W)^2+q(-b-W)^2)    =1/N*Σ(b^2+W^2-2(p-q)bW) =1/N*Σ(b^2)-W^2 ＝Σ(b^2)-W^2 得： S^2+W^2=b^2 解释： Σ为从1到N的求和 标准差S公式： S^2=1/NΣ(x-W)^2 其中W为x的平均值 赌博时下注量为b时 赢的概率p，赢时下注量与平均值的差为b-W 输的概率q，输时下注量与平均值的差为-b-W P(B)=(q/p)^(B/b) =((1/2-W/2/b)/(1/2+W/2/b))^(B/b) =((1-W/b)/(1+W/b))^(B/b) ln(P(B))=(B/b)(ln(1-W/b)-ln(1+W/b)) 在x很小时： ln(1+x)可以近似写成x ln(P(B))=-2W/b*(B/b)＝-2WB/b^2 =-2WB/(S^2+W^2) P(B)=e^(-2WB/(S^2+W^2))

到此公式推导完毕。 注意： （1）ln(1+x)近似写成x，会产生误差 （2）实际在扑克游戏中每次下注量不可能完全相同。公式用在扑克玩家计算破产概率会产生多大误差，目前还没有准确的估计。

公式看不懂，，，结论也没有。。。

求结论
求例子

使用例子：
设计一个游戏，用100张卡片，红色的55张，白色的45张。
随机抽取一张卡片，如果时红色，甲赢乙输，如果时白色，乙赢甲输。
初始甲有100美元，乙有100亿美元，每次下注1美元。
求甲破产的概率。

纯公式推导的确比较复杂，根据我个人对赌博破产概率的理解，在这个具体的例子中，甲赢利的概率为55%，初始资金100$，每次只下1$，就是有100个买入，其标准差应为：

SD=100*((0.55*(1-0.55))/100)^1/2
     =5

在55%概率下，用100个买入All in100次，理论上能赢：

100*55%=55

取3个标准差时，如果重复很多次用100个买入不断All in100次这样的事件，就有99.73%的机会出现以下这种情况：

最多时，可赢：55+3*5=70
最少时，可赢：55-3*5=40

这个数据说明，100个买入在相应的55%赢利概率条件下，有99.73%概率不会破产。

在实际赌博中，取三个标准差99.73%已经是一个可以接受的数据。

xiaozhu88 发表于 2014-11-11 14:59
使用例子：
设计一个游戏，用100张卡片，红色的55张，白色的45张。
随机抽取一张卡片，如果时红色，甲赢乙 ...

55%胜率下，allin 100次，每次allin 1个买入，
理论上，55次赢1个买入，共赢55个买入；45次输1个买入，共输45个买入；
加总，每次试验（100个买入allin 100次）预期赢10个买入。

xiaozhu88 发表于 2014-11-11 00:59
使用例子：
设计一个游戏，用100张卡片，红色的55张，白色的45张。
随机抽取一张卡片，如果时红色，甲赢乙 ...

在55%概率下，用100个买入All in100次，理论上能赢：

100*55%=55


好像不对。
应该是：
100（1*55%-1*45%）=10

这里下注量为1，不知道你说的“all in”是啥意思？

破产的概率也不对。
我的计算结果是：
1-1.9*10^(-9)

100（1*55%-1*45%）=10
就是+EV值。55%的赢率，100次中，总共可赢55次，理论上净赢10次。All in在这里意思就是每次的总下注量。


100个买入，在55%的赢率下破产的概率很小很小，肯定小于0.27%，在实际赌博行动中，完全可以忽略不计。

如果非要纠结去计算，这就类似于那个讨论资金管理题目中在数学意义上的“无限时间”问题了，对我们有限的人生毫无意义。还不如花时间在“运气”研究上。
http://www.zhiyoucheng.co/thread-15403-1-1.html

dengxianqi 发表于 2014-11-11 15:50
55%胜率下，allin 100次，每次allin 1个买入，
理论上，55次赢1个买入，共赢55个买入；45次输1个买入，共 ...

我是这样理解“输赢”和“破产”的：

拿出一笔固定为B的资金，按预定的管理方案进行赌博，这笔资金变成2*B时，叫做赢了；反之，这笔资金变为0，就叫做输了，也可理解为破产。

这个55%赢率的例子，我是这样理解的：

每进行100次试验，最坏的情况是只赢40次，就是最多可输到60次，就算是连续输60次（这里的“输”也许用“波动”更好），还有至少40个买入，还是不算上面资金管理意义的输，还未到破产的地步，也可以理解为不可能破产。

平均而言，每进行100次这样的试验，每一回合净赢10个买入。
重复10回合这样的100次试验，就可以净赢10*10=100个买入，原始的B资金翻倍，就是赢了！

破产概率的另外一个定义似乎是这样的：一笔用于赌博的固定资金在翻倍之前输光的可能性。

我的结论是：你准备有100个买入，如果你的赢率达到55%，你这一辈子就完全不用担心破产这个问题。

正在一点一点理解陈爷的推导过程。

一边理解一边说自己的体会。

这一段：

考虑盈利标准差：
S^2=1/N*Σ(p(b-W)^2+q(-b-W)^2)   
=1/N*Σ(b^2+W^2-2(p-q)bW)
=1/N*Σ(b^2)-W^2
＝Σ(b^2)-W^2
得：
S^2+W^2=b^2

远看不太好理解，后来想一想，貌似正是一个著名的公式（用于各种分布的随机变量）：
Var(X) = E(X^2) - E(X) ^2
Variance is "Mean of square minus square of mean"

但不知道陈爷公式里面的-2(p-q)bW那一项是怎么消除的