概率问题请教

掷硬币游戏，掷64次为1局，请问：

1：1局中有5连正(连续5次为正面)的概率是多少？
2：1局中有2次5连正(连续10次正面算2次)的概率是多少？
3：连续8局都有5连正的概率是多少？
4：连续8局没有5连正的概率是多少？

麻烦会算的花费点时间帮我算算，非常感谢。

这个帖子我犯的错误其实很多，不是老陈和火花指出来，那些错误就一直晾晒在那里。尤其是老陈指出的2个连5的概率，怎么算也不可能是我算的那么低的概率吧。火花指出的那些错误又都是很低级的错误。前面还怀疑过DA兄的算法（其实是很精巧的思路），惭愧的地方太多了。

第一次算2连5出那么大的错误，其实就是想借用1连5现成的数据，之前我手工用笔记本的计算器把斐波那契的64个值都保存在一个文本文件里，花了很长时间做的，还用了不少计算器COPY,PASRE的技巧。

所以我的思路从一开始就掉入了利用现成的1个5连上现成数据的陷阱。结果得出了错误的公式，火花和老陈指出问题后，我马上发现公式有问题，最终发现仅用5连胜的函数解决不了问题，得老老实实从最原始的来，重新定义了2个5连函数后，整个公式马上就很干净了。但是，怎么迅速的得到结果？

之前为了算火花的题，我开始学EXCEL，还特意摆弄了半天INDEX,VLOOKUP等公式函数，发现解决不了问题，就想用宏，结果我的EXCEL好像没有宏编程功能（以前也没用过），总之我就不会用。其实花时间折腾EXCEL的时间最多，功夫不负有心人，就在我要放弃的时候，神奇的发现，直接用COPY/PASTE功能把公式按每个单元格复制，里面的参数会自动调整，根本就不需要函数调用，变量什么的，总之就是很简单，鼠标一拉结果全部出来，简单到不相信。

然后这个题的结果就出来了。再算3连，4连甚至5-10连都简单了，不过做的过程非常的辛苦，错一个小地方，全部都错，很容易怀疑，又很容易自信。

老陈的做事风格其实我是很佩服的，他找的方法总是准确有效，他的数据放那里，肯定是反复验证过的，我就比较放心，其实德州扑克里老陈的心得我经常学习，遗憾的是老陈说的太少。我自己，总是“意识流”的风格，思路到哪里，就写到哪，对错都不管了。

一写，话就比较多，大家多多包涵。

dfu2012 发表于 2012-9-1 04:31
老陈，我的数据结果全部是用公式顺序用EXCEL自动算出来的，只要知道初始的6个值（前5个是0，另一个一般都 ...

我只是提个醒，真要是在某个非常重要地方应用这些数据，我当然要用你的数据，我的模拟是近似值。我也不想把样本再提高10倍，现在算一个数据大约需要2分钟，再提高10倍我就等不起，程序也没啥优化的余地，CPU虽然是目前普通台式机上最快的，但也就这大能水了。你说的随机数问题是一个方面，别外程序里有一个“>0.5”的判断语句，随机数真的出现0.5也会产生误差，说正面不对，说反面也不对，我算出的结果就是个大概，但不离谱，不再费劲了。无论怎么说，很难的题解出来了，还是比较爽。

结果差不多。

老陈 发表于 2012-9-1 12:18
我核对了全部数据，全部吻合。
今天不知犯了啥毛病，怀疑别人，又怀疑自己，又怀疑别人。
你的计算结果与我 ...

老陈，我的数据结果全部是用公式顺序用EXCEL自动算出来的，只要知道初始的6个值（前5个是0，另一个一般都是1/2^K，比如1个5连的F5(5)就是1/2^5 。。）,后面所有的值都可以用公式和这6个值推出来。非常的方便，EXCEL好像就是为解决这类问题设计的，COPY,PASTE，非常迅速。验错也比较简单，直接找任意序号的6个2连或3连的概率值，看他们是否和公式相符合即可。

你的程序我也看了，我看不出什么问题，唯一的可能是样本值不够多，200000000不够的话再多10倍，不过这似乎关联也不大。


你的疑问让我想到另一个话题：

假如我的结果是100%标准（纯理论计算）的随机硬币产生的数据，你的计算结果和我的值相较有80%数据偏向更大，这再正常不过了，因为你的模拟发生器不可能是真正的100%随机发生器，必然是有偏向的。先别笑话这个结论，世界上永远有“聪明人”会利用这极其细小的偏差。

比如你的结果总的来看都偏大一些，那么可能你的硬币向上的几率可能会比向下的几率稍微大一丁点儿，那可能你的随机发生器是一个偏向正面的随机发生器，比如50.0000001:49.9999999，当胜率有多大的比例能影响到最终的结果偏差在0.2%以上，这个就得进一步的计算了，然后就是如何利用这微小的胜率优势，当然，这么小的偏差可能连赌场的RAKE都对付不了。

世界上没有100%的随机发生器，除了理论上的计算。在赌场里，对于有机械装置参与的随机发生器，比如轨道旧了，零件旧了，温度高了，等等，具体内部的细节不重要，关键是从那些随机的数据中分析出可能的胜率偏差，如果数据的表现不符合理论上随机计算的结果，那么就有可能有胜率偏差（即不是100%均匀硬币）如果这种胜率偏差足够应付RAKE的话，那么。。。

瞎扯扯了，图个乐。

老陈 发表于 2012-9-1 12:18
我核对了全部数据，全部吻合。
今天不知犯了啥毛病，怀疑别人，又怀疑自己，又怀疑别人。
你的计算结果与我 ...

我感觉可能是精度问题，会不会是样本不够？2^64个数量的组合可是天文数字啊。

我的数据结果全部是根据下面的公式计算，借用了EXCEL的技巧，如果公式的逻辑没有错的话，数据应该会非常精确（和EXCEL的计算精度相关）。

1连5的解题逻辑采用概率法，没有借用火花的斐波那契数值，全部都直接用概率公式计算，而2连5以上的逻辑和1连5也是一样的。

1连胜公式：P5(N)=1/2*P5(N-1)+1/4*P5(N-2)+1/8*P5(N-3)+1/16*P5(N-4)+1/32*P5(N-5)+1/32

2连胜公式：P10(N)=1/2*P10(N-1)+1/4*P10(N-2)+1/8*P10(N-3)+1/16*P10(N-4)+1/32*P10(N-5)+1/32*P5(N-5)



下面贴出更多的值共102个值，可相互印证下，1个5连胜用概率法算的结果=0.647638847，应该和你们的一样，特意印证了一遍。 时间一长，我脑子就会浆糊，好在没什么紧要事做，如果是打大一点金额的德州扑克，休息是第一位的。

脑子已经迷糊了，反复计算验证了几次，EXCEL里复制黏贴经常容易出错，有一次把分子32搞错成20，好在有前面计算的数据，好半天才找出原因。




序号        1个5连胜                 2个5连胜                 3个5连胜
1        0                     0                      0
2        0                     0                      0
3        0                     0                      0
4        0                     0                      0
5        0.03125                0
6        0.046875                0
7        0.0625                       0                     0
8        0.078125           0                     0
9        0.09375            0                     0
10        0.109375          0.000976563        0
11        0.124511719        0.001953125        0
12        0.139404297        0.003173828        0
13        0.154052734        0.004638672        0
14        0.168457031        0.006347656        0
15        0.182617188        0.008300781        3.05176E-05
16        0.196533203        0.010467529        7.62939E-05
17        0.210212708        0.0128479        0.000144958
18        0.223659515        0.015434265        0.000240326
19        0.236877441        0.018218994        0.000366211
20        0.2498703        0.021194458        0.000526428
21        0.262641907        0.024353027        0.000723362
22        0.275196075        0.027687788        0.000960112
23        0.287536502        0.031191826        0.001239419
24        0.299666822        0.034858406        0.001563847
25        0.311590612        0.038680971        0.00193578
26        0.323311388        0.042653143        0.002357423
27        0.334832609        0.046768725        0.002830848
28        0.34615767        0.05102168        0.003357969
29        0.357289912        0.055406138        0.003940556
30        0.368232618        0.059916388        0.004580239
31        0.378989015        0.064546876        0.005278513
32        0.389562274        0.069292199        0.006036745
33        0.399955515        0.074147105        0.00685618
34        0.410171801        0.079106488        0.007737939
35        0.420214146        0.084165381        0.008683034
36        0.430085512        0.08931896        0.009692364
37        0.439788808        0.094562532        0.010766724
38        0.449326898        0.099891541        0.011906806
39        0.458702593        0.105301556        0.013113208
40        0.467918658        0.110788275        0.014386432
41        0.476977812        0.116347517        0.015726893
42        0.485882726        0.121975223        0.01713492
43        0.494636026        0.127667449        0.018610761
44        0.503240293        0.133420367        0.020154585
45        0.511698065        0.13923026        0.021766488
46        0.520011836        0.145093521        0.023446493
47        0.528184058        0.151006648        0.025194556
48        0.53621714        0.156966243        0.027010568
49        0.544113453        0.16296901        0.028894358
50        0.551875323        0.169011752        0.030845695
51        0.559505041        0.175091367        0.032864293
52        0.567004856        0.181204847        0.034949813
53        0.57437698        0.187349278        0.037101864
54        0.581623587        0.193521833        0.039320008
55        0.588746814        0.199719774        0.04160376
56        0.595748762        0.205940446        0.043952593
57        0.602631496        0.212181279        0.046365937
58        0.609397045        0.218439783        0.048843186
59        0.616047405        0.224713547        0.051383694
60        0.622584536        0.231000238        0.053986783
61        0.629010367        0.237297596        0.056651742
62        0.635326793        0.243603436        0.059377828
63        0.641535676        0.249915644        0.062164271
64        0.647638847        0.256232175        0.065010273
65        0.653638106        0.262551052        0.067915011
66        0.659535223        0.268870364        0.070877639
67        0.665331936        0.275188265        0.073897287
68        0.671029955        0.28150297        0.076973069
69        0.67663096        0.287812757        0.080104076
70        0.682136603        0.294115963        0.083289383
71        0.687548508        0.300410983        0.08652805
72        0.69286827        0.306696269        0.08981912
73        0.698097458        0.312970327        0.093161626
74        0.703237615        0.319231717        0.096554587
75        0.708290256        0.325479053        0.09999701
76        0.713256872        0.331710997        0.103487895
77        0.718138927        0.337926264        0.107026231
78        0.72293786        0.344123613        0.110611001
79        0.727655087        0.350301855        0.11424118
80        0.732291999        0.356459842        0.11791574
81        0.736849964        0.362596474        0.121633645
82        0.741330325        0.368710692        0.125393858
83        0.745734405        0.374801482        0.129195338
84        0.750063501        0.380867868        0.133037043
85        0.75431889        0.386908915        0.136917928
86        0.758501827        0.392923729        0.140836949
87        0.762613547        0.398911451        0.144793063
88        0.76665526        0.404871261        0.148785225
89        0.77062816        0.410802372        0.152812396
90        0.774533418        0.416704034        0.156873535
91        0.778372185        0.422575532        0.160967607
92        0.782145594        0.428416181        0.16509358
93        0.785854758        0.43422533        0.169250424
94        0.789500769        0.440002358        0.173437115
95        0.793084704        0.445746675        0.177652635
96        0.79660762        0.451457721        0.181895971
97        0.800070554        0.457134963        0.186166115
98        0.803474529        0.462777896        0.190462067
99        0.806820549        0.468386044        0.194782832
100        0.810109599        0.473958954        0.199127424
101        0.813342651        0.479496202        0.203494863
102        0.816520657        0.484997386        0.207884179

你们太坏了，我很想仔细看每个回贴，但越看就越觉得自己象个文盲。

整体的解题逻辑我是这么考虑的，A代表硬币向上，B代表硬币向下。任意一个N长度的硬币投掷结果序列可分解为：(A+X)的序列+(B+X)的序列，B起头的序列简单考虑P(N-1)的情况即可， 而A+X的情况要再分解，（A+X)的序列可分解为：（AB+X)的序列 + （AA +X)的序列，同样（AB+X)的序列简单考虑P(N-2)的情况即可，（AA +X)的情况要再分解，一直到分解出(AAAAB+X)和 （AAAAA+X)这两种序列，到这里5连上的所有序列都分解完成。
分解图如下，其实用树状图表示更清晰，不好画。

                                          B XXXX
                                          A B XXXX
                                          A A B xxx
                                          A A A B XXX
                                          A A A A B XXX
                                          A A A A A XXXX

那么2连5公式P10(N)如下，用到1连5公式P5(N-5)：

P10(N)=1/2*P10(N-1)+1/4*P10(N-2)+1/8*P10(N-3)+1/16*P10(N-4)+1/32*P10(N-5)+1/32*P5(N-5)

同理3连5公式P15(N)用到2连5公式P10(N-5)：

P15(N)=1/2*P15(N-1)+1/4*P15(N-2)+1/8*P15(N-3)+1/16*P15(N-4)+1/32*P15(N-5)+1/32*P10(N-5)

同上逻辑，5连5用到4连5,4连5用到3连5：

用EXCEL计算，EXCEL解决这类问题特方便。

2连F10(64)=0.256232175，投掷64次硬币，有2个5连上的几率是25.62%

3连F15(64)=0.065010273，投掷64次硬币，有3个5连上的几率是6.501%

4连F20(64)=0.011011617，投掷64次硬币，有4个5连上的几率是1.101%

5连F25(64)=0.001270918，投掷64次硬币，有5个5连上的几率是0.127%



   

我核对了全部数据，全部吻合。
今天不知犯了啥毛病，怀疑别人，又怀疑自己，又怀疑别人。
你的计算结果与我的模拟结果的误差有一定规律，绝大部分是你的小一点点，当然我的不是精确值，但误差应该是有时你数值的大，有时我数值的大才正常，我的数大的超过80%就不正常了，但误差大部分都在0.02%左右，建议dfu是不是检查一下可能引起下误差的因素，比如边界什么的，总之这题让人晕。不查也无妨，本来就是一个概率问题。有一点可以确定，最正确的答案就在咱们的结果附近。