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德州扑克要素之十六：现金vs比赛
Howard
从《扑士》第二期开始，“德州扑克要素”系列文章陆续与大家见面。前十五篇分别介绍了牌，筹码深度，位置，风格与平衡，底池控制，马脚，套路，资金管理，心态，统计，思路，下注大小，边缘价值注，选桌和自我调节。本期继续介绍第十六个要素：现金vs比赛。
德州扑克要素系列写到现在，有很多期已经不是简单的技术要素，而是我该期恰好想到的一个跟扑克相关的话题。为了系列性的原因，以及懒得找新题目，仍然冠名在德州扑克要素之下。本期我恰好想到现金局和比赛，想从资金管理和职业规划角度介绍一下它们之间的对比，以及选取他们的利弊。
牌手跟其他投资人一样，做任何决定都希望最大化收益和并最小化风险。可是这两者往往是矛盾的，高收益几乎一定伴随着大风险。但我们仍然可以假定一个我们能承受的最大风险，然后在这个风险之内选择我们最大收益的决策。比如，有$2-$5和$5-$10两个牌局，其中$2-$5的牌局有两条鱼，$5-$10的牌局有四条鱼，你估计你能从$5-$10牌局的期望收益比$2-$5要高出不少，但是，你的资金流不足以承受$5-$10牌局的波动，你只能被迫选择$2-$5。
期望值，我们往往用$/Hour来衡量。这是时间期望值。比如，一个$2-$5的现金玩家，1000个小时内盈利$30K，那么他的小时盈利就是$30K/1000=$30/Hour。再比如，一个打比赛为主的玩家，50场比赛共花了1000小时，盈利$20K，那么他的小时盈利就是$20K/1000=$20/Hour。
还有另一种期望值，叫投资回报率，是指在单位时间内带来你的期待收入与你的资金流的比值。比如，第一个玩家的时间期望值是$10/Hour，他的资金流是$30K，这样他每1000小时的资金回报率就是$10*1000/30K=33%。第二个玩家的时间期望值是$20/Hour，他的资金流是$100K，他每1000个小时的资金回报率就是$20*1000/100K=20%。可以看出虽然第二个玩家的盈率比第一个玩家高出一倍，但他的资金回报率比第一个玩家要低不少。
请注意这里资金流是指你为扑克准备出来的专属资金。即使你最惨痛的下风期也远未威胁到你全部资金，只要你认为应该为扑克准备出来应付波动的所有备用资金，都应算作扑克资金流。
计算波动，用标准差（Standard Deviation，简称SD）是最好的选择。要解释标准差，得稍微绕点远，从正态分布说起。因为扑克是标准的随机事件，打扑克的时间长了，你的结果会服从一个正态分布：你的真实收入在期望收入附近的概率最大（期望收入 = 盈率*时间），不大可能偏离期望收入太远。越远离期望收入，比如说非常高或者非常低的收入，可能性越小。标准差就是衡量真实收入距离期望收入的可能性的。
正态分布有一个经验法则，载了古的话，叫68-95-99.7规则。真实收入落在偏离期望收入一个标准差之内的可能性，是68%；落在落在偏离期望收入两个标准差之内，是85%；落在三个标准差之内，是99.7%。举例来说，你打了1000小时扑克，你估计盈率是$20/Hour，每小时标准差是$150/Hour，那么1000小时的标准差是sqrt(1000) * 150=$4743（关于牌手标准差的计算，可以参考本人德州扑克要素之资金管理一文）。你的期望收入是$20000，你的真实收入应该有68%的可能性落在距之一个标准差内，也即[$15257,$24743]；有95%落在两个标准差内即[$10514,$29486]；有99.7%会落在三个标准差内即[$5771,$34229]。
如果你的真实收入是$25000，可以推算出来你是最幸运的那16%的情况。如果你真实收入是$10000，那你属于最不走运的那2.5%左右。如果你收入是$3000，那么你是千里挑一的倒霉蛋，但更可能的是，你对赢率的估计错误，应该调整了。
铺垫了这么多期望值和标准差基础知识，现在看看这两项指标对现金局（cash game）和比赛（tournament）的意义。
现场比赛，世界级大比赛可以达到数千人，赌场的日常比赛一般只有几十人。但一般稍微有点的规模的周末比赛，外围赛，以100到300人的规模居多。以一场100多人的比赛来看，一般是支付前13%-15%左右。我挑了一场2011年WSOP参加人数较少的比赛作为参照物：Event 21 Seven Card Stud Championship。这场比赛只有126个人报名，买入$10K，前16名有奖，总奖金池$1,184,400，奖金返还率94%。
作为一个平均水平的牌手，他投入1万美元，预期返还值是9400元。每打一次比赛的期望值是-600元。作为水平较高的职业牌手，应该能预期到130%左右的资金回报率，每打一次比赛期望值是+3000美元，或0.3倍买入。有些牌手水平很高，能拿到180%，也有些挣扎在盈亏线上，但我觉得130%这个数字可以做一个职业牌手的标杆。
作为平均水平的牌手，他拿到每一个名次的概率是相同的。他这次比赛的标准差，算下来，是$38211，也就是3.82倍的买入。对于好手，他拿到奖的概率会增加，这样他的标准差比坏手还要大一些，$50000是一个比较靠谱的决定，或者5倍的买入。对计算过程感兴趣的朋友可以阅读下一段，没兴趣可以直接跳到下下段。
标准差公式是【此处公式打不出来，抱歉】。这场比赛的奖金分布可以在WSOP网站查到。用每个名次的奖金（16名以后是0），减去平均值9400，得到一个差值。比如第一名$331639，减去$9400，得到到322239；又比如第17名奖金0，减去9400，得到差值-9400。将这126个差值平方，再算出这126个平方数的平均值，就是方差（variance）1,460,076,817
。把方差再开方，就得到标准差SD：$38211。
0.3倍买入的期望值，5倍买入的标准差，是我们计算出的一个不错的职业牌手一次比赛的数据。如果他打多次比赛，期望值是累加的，标准差却不是。标准差与比赛次数的平方根成正比。假如这个选手主打这类100来人的比赛，而且很勤奋，一年打了200场，那么他的全年期望值是0.3*200=60倍买入，标准差是2005=70.7倍买入。
200场比赛的样本已经足够大，可以把总收入近似看做符合正态分布。标准差比期望值还略大。根据68-95-99.7规则，此人有68%的可能性，年收入位于-10.7到130.7个买入之间。有95%的可能，位于-81.4到201.4个买入之间。这个不错的牌手，打了一年牌，仍然位于水下（收入为负值）的概率高达20%。
要想让尽量缩小波动的影响，只能增加比赛次数。要想让自己95%的可能性确保出水，期望值就必须高于2倍的标准差，这需要多少场比赛呢？假设n场。则有n×0.3=sqrt（n）×5×2，结果是n=1111场。如果按照每年200场的速度，需要5年多。
比赛人数增多，标准差只会更大。所以，如果你只打1000人左右或者更高的大赛，可能需要一生的时间才能让期望值“打败”标准差。
对于一个职业牌手来讲，这是一个比较沮丧的结果。打比赛波动太大，大到需要太长的时间，才能让真正的期望值浮出水面。
我们来看看无限德州扑克现金局。以笔者过去三年的经验推断，每手牌的平均值大概在0.4BB左右，可把这0.4BB视作期望盈率。每手牌的标准差，大约是30BB。按照一年1500个小时的时间推断，大约是50000手牌。全年期望值应该是50000*0.4=20000BB，而全年标准差是sqrt(50000) * 30 BB=6708 BB。可以看到，全年的期望值相当于3倍的标准差，根据68-95-99.7规则，只有0.3%的可能性，才会出现全年仍然水下的情况。在绝大多数的情况下，即使我非常幸运，或者非常倒霉，全年真实收入也很跟期望收入不会相差太远。
网络现金扑克因为整体水平较高，且少了对对手的阅读，赢率要降低很多。4BB/100这样的数据，虽然只是笔者数据的十分之一，但在网上玩家里已经算是很不错了。但网络的特点是快，且能多桌，所以依靠量大，依然能在一年左右的时间里让真实收入非常接近期望收入。
以上比赛和现金的特点表明，职业牌手选择现金为主，除了可能利润更大外，实在是概率统计自然规律的强大威力所迫，毫无办法。你可能会看到看到，某职业牌手是专门打大比赛的，动辄500甚至上千人，一场比赛好几天，且他获利颇丰。这样的牌手还为数众多。或许有可能是他的水平真的很高，可能一场比赛投资回报率搞到200%甚至300%，但我觉得更大的可能性是，他即使有那么高的水平，现在也仅仅是处在波动的好的一端而已。而且几乎是一定的。
巴菲特云，潮水退去才知道谁在裸泳。比赛之于现金，鉴于它存在长期泡沫，甚至穷其一生也无法体现真正价值，我不建议把打比赛尤其是大赛作为职业牌手谋生的主要手段。现金局，如果在控制情绪方面比较成功，实在是比比赛要稳妥太多的手段。 |
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