请教Howard大神一数学问题

丢硬币, 出正面, 赢一个下注; 出反面输下注的80%.
现有本金100元, 每次输赢都计入本金, 每次下注额为本金的12.5%, 请问丢100次硬币后的平均收益?

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呵，其实我有过和Lucky一样的错觉，关于先赢后输或相反，其实最后应该是一样的，但这里的还有一个问题是这只是 期望，打牌的都知道，要每个月都持平期望，是多么可爱的一个目标。如果没有，那么最后的结果至少在15%以上的偏差。

Howard 发表于 2012-4-13 03:55
看不懂楼上。

1. 输时和赢时的bankroll怎么会不同？原文看不出这个意思。“每次下注额为本金的12.5%”，这 ...

关于第二点，确实是我糊涂了。让我再想一想bankroll是否是一样的。

看不懂楼上。

1. 输时和赢时的bankroll怎么会不同？原文看不出这个意思。“每次下注额为本金的12.5%”，这里的本金为下注前的本金，怎么会被之后的下注所左右？

2. “每次bet一个bankroll，赢了加倍，输了减半”，100次以后应该是赢大发了。“赢了加倍，输了清空”才是不输不赢。

Howard 发表于 2012-4-13 00:04
每次下注额为本金的12.5%，且下注可以低于1分钱，相当于永远不会破产。这就好办了。

每次丢硬币的EV：50% ...

我的第一反应也是这样。但是稍微思考一下，又觉得不太对。比如说每次bet一个bankroll，赢了加倍，输了减半。１００次后期望值应该是不输不赢,严重偏离这个解法。绞尽脑汁后才发现输时赢时两个bankroll是不一样的。在此问题中，如果输时bankroll是１，赢时bankroll只有１－１／８＊０。８=０。９。所以：
每次丢硬币的EV：50%×１／８＊０。９bankroll - 50%×80%×１／８＊bankroll=０。６２５％bankroll。
１00次之后，100元会变成100 * 1.0０６25^100 = １８６元

每次下注额为本金的12.5%，且下注可以低于1分钱，相当于永远不会破产。这就好办了。

每次丢硬币的EV：50%×bet - 50%×80%×bet=10%bet

又知 bet=12.5%bankroll，故 EV=10%×12.5%×bankroll=1.25%bankroll

所以每次完成抛硬币后，初始bankroll会增大1.25%

N次之后，初始bankroll会增大到原来的1.0125^N倍

100次之后，100元会变成100 * 1.0125^100 = 346.340427元