请问一个概率问题

甲乙玩掷硬币游戏。甲掷乙猜（乙猜对的概率为50%），乙每次都是押一元。

甲有1元，乙有10元。甲或者乙输光，游戏结束。

请问：乙的胜率是多少？（就是把甲的1元清袋的概率）

如果一开始甲有1元，乙有20元。概率又是多少？

robo 发表于 2012-2-22 15:06
从乙的角度看，这个是个经典的random walk问题。S_t代表乙在第t次以后的输赢
S_t=X_1+..+X_t, X_t=1 或 -1 ...

这个应该素正解

Howard 发表于 2012-2-22 06:40
确实是好题。

leisong在3楼的提问也挺好。我认为，无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全 ...

'如甲1乙10,则甲清空乙的概率是9.09%.甲1乙20,甲清空乙的概率是1/21."

就记介个结果,头还不是太大.

形式化一下，假设甲有n元，乙有m元，比赛是公平的，则甲赢光乙的概率是n/(n+m)；  
再推广一下，同样条件，只是比赛不要求公平，每次赌一元时，甲赢的概率是p。  
则甲拿一元出来，连本带赚的数学期望是2p；  

甲有n元拿来赌，设赢得m元的概率是q，所以拿n元出来，连本带赚返回的数学期望是：q(m+n)；  

又因为拿n元出来连本带赚的数学期望，是拿1元出来变成2元的数学期望的n倍。  
所以2pn=q(m+n)  

解出：拿n元出来赢m元的概率q=2pn/(m+n)；  

我也看不懂这P啊Q的是什么。好像某篇题为“D博中的概率问题和彩票陷阱中的数学问题分析”有类似的方程式。看一眼就头痛，多看几下就更头大了。

Howard 发表于 2012-2-22 06:40
确实是好题。

leisong在3楼的提问也挺好。我认为，无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全 ...

这是个可怕而痛苦的结论

其实我们有太多的人只顾EV而忽略资金，这就是为什么掌握了好的赌博技术赢钱依然那么难。

我可不可以这样说，我们所有的牌技，我姑且叫做EV技术加上资金管理技术，才是赌技的全部。太多的人只掌握了一般。

也可以把上面的例子这样说吗？1元的人和10元的人赌博，在EV相等的时候，1元的人只有10%的机会赢。

费了半天话，我想问老霍等正事。

1元和10元，各50%的机会赢，是最简单的模型。

现在我们把问题弄得复杂一点，也更符合赌场的实际情况一点，我们引进EV。

假设甲的资金是10万，乙的是1万。两个人玩2-5无限
假设是10人桌，翻牌前锅里有200的死钱，而甲和乙都各自余下1000元。

翻牌出来278，两红桃，甲手拿AA先全进1000，乙手里拿红桃910，这时候如果乙也跟了这个1000，两个人都是正EV

我们假设甲赢的机会是49%，乙的机会是51%

在这样的概率条件下，把这样的游戏重复做下去，甲用10万元赢光乙的1万元的机会如何计算。

maomaobiao 发表于 2012-2-22 12:55
蛇足地解释一下为什么 “无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全下），小筹码翻倍的概率都 ...

这个蛇足硬是要得！典型数学归纳法（放狗搜了一下，英文叫Mathematical Induction）证明过程

我那个帖子，只是把一个看似显然的定理拿过来用。其实学过平面几何的都知道，再显然的定理，只要不是五大公理，都需要证明，有的证明起来还非常难。

从乙的角度看，这个是个经典的random walk问题。S_t代表乙在第t次以后的输赢
S_t=X_1+..+X_t, X_t=1 或 -1，对称的概率1/2。
S_t达到+a(这里是+1），乙就赢了；S_t达到 -b(这里是-10），乙就输了。
结论就是乙就赢的概率是 b/(a+b), 输的概率a/(a+b)。

算的话是利用些概率理论。T是游戏结束时间，那么S_T是martingale，然后 0=E[S_T]=Pa*(+a) + Pb*(-b), Pa+Pb=1; 解方程就出来了 Pa=b/(a+b) 。

蛇足地解释一下为什么 “无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全下），小筹码翻倍的概率都是50%（破产的概率也是50%）。”

利用排列组合和穷举法这里搞不定，那么怎么把这个问题说得清楚些呢？我们可以用概率和分布。

1. 最小筹码量的时候，1:1 的投硬币，50%破产，50%翻倍，相信没有人质疑这个。

2. 接下来，无论怎么开始，游戏进行下去都有无穷多的可能。但是结束的条件都是“正面的次数 - 反面的次数 = 翻倍需要的最小次数"，或者反之“反面的次数 - 正面的次数 = 破产需要的最小次数"

3. 由于破产和翻倍需要的最小次数是相等的，例如 2 的时候，翻倍和破产的最小次数是2，所以不论游戏进行的方式有无穷多种，以上两种结束游戏的方式是等价的，故而他们发生的概率相同。

4. 而游戏（的某个阶段）只有在上述两种可能下终止，所以，翻倍和破产的几率都是50%。

Howard 发表于 2012-2-22 08:40
确实是好题。

leisong在3楼的提问也挺好。我认为，无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全 ...

亮了！

分析地挺清楚的，还容易懂。

确实是好题。

leisong在3楼的提问也挺好。我认为，无论他们下注最小筹码量，还是下注有效筹码量（小筹码全下），小筹码翻倍的概率都是50%（破产的概率也是50%）。

这也是解决这个问题的关键。

开始，甲筹码1，所以他变成2和破产概率相等，都是50%。

后来，甲筹码2了。从这一点看，他翻倍变成4和破产概率仍然相等，还是50%。至于翻倍和破产的过程，不用去管它。
所以，从一开始看，甲（破产前）筹码变成4的概率是50% × 50% = 25%

以此类推，甲（破产前）筹码变成8的概率是12.5%，变成16的概率是6.25%，变成32的概率3.125%

所以，如果乙筹码是10，甲的胜率应在12.5%-6.25%之间；如果乙筹码是20，甲的胜率在6.25%-3.125%之间。

事实上，他们把对方清空的概率完全正比于他们的筹码比例。如甲1乙10，则甲清空乙的概率是1/（1+10）=9.09%；甲1乙20，甲清空乙的概率是1/21。

这跟ICM计算时的假定是一致的：筹码比例完全正比于夺冠比例。

这题最怕纠缠细节，一纠缠就完蛋了，因为穷举不过来，情况太多了