<扑克的数学>牌例之一：AA vs 强draw明牌互博

游戏简介：二人HU。每人或者check，如下注或加注，必须严格Pot-size，除非全进时可少于Pot。这跟平时我们所见的Pot-Limit不同，那个是下注/加注最小单位到Pot都可以。我们这个游戏，不妨叫做Strict Pot Limit

双方不但可以看到自己的牌，还可以看到对方的牌。

甲：A A
乙：8 7

翻牌：K 9 6

底锅100元。

这个翻牌上，甲暂时领先，乙有15个outs，反而是favorite。甲乙equity之比是44:56

因为可看到对方的牌，所以二人都心知肚明。

乙的最大希望，是在翻牌上二人全进，以求得equity优势。如果在翻牌未全进，转牌上乙做成了，甲已经drawing dead（即使转是A 甲也不够跟一个potsize，所以忽略不计），绝不会再付给乙一个子儿。

甲的最大希望，则是翻牌上不要全进，且转牌乙未听成，这时甲再bet pot，乙因为转上equity仍然有34%（同样，忽略甲fullhouse和乙runner two pair/trips的情况），只好跟。这时甲就赚到了。

无论哪种情况，河牌输家均不会跟注。那不是傻子嘛，能看到对方牌，还跟个鬼。

情形1：短筹码，二人各有50元
甲无论如何，不能阻止双方翻牌全进。即使甲check，乙必然全进，甲必然只能跟。所以双方打法应该是check-bet-call。乙的EV是
56%×（New pot size） - （cost of bet）
=56%*200 - 50
=62


情形2：中筹码，二人各有400元

如果二人翻牌上全进，乙的EV是
56%×（New pot size） - （cost of bet）
=56%*900 - 400
=104

如果甲bet 100，乙就恰好能raise potsize全进，以求得104的E。所以甲不能bet，必须check。

甲check，现在假设乙bet 100，甲如果全进，就正遂乙愿，所以甲call。

二人看转牌。底锅300，剩余stack 300。

15/45的情况，转牌是15张乙的out，游戏就结束了，乙虽然胜出，但是从甲那里再得不到1毛钱。（忽略甲fullhouse）
这时乙的EV是 new pot - cost of bet = 300-100 = 200

30/45的情况，转牌blank，甲乙equity之比变为66：34，甲大占优势，bet pot 300 AI之后，乙只能含恨call。这时乙的EV：
15/44 × (900-400) + 29/44 * (-400) = -93.2

综合上面两种情况，乙的EV是15/45 * 200 + 30/45 * -93.2 = 4.53

对于乙来讲，这区区4.53远低于翻牌全进的104。但是，他没有机会翻牌全进，因为甲不给他这个机会。


现在看看甲check后，乙随之check的情况。

15/45的情况，转牌是15张乙的out，游戏就结束了，乙虽然胜出，但是从甲那里再得不到1毛钱。（忽略甲fullhouse）
这时乙的EV是 new pot - cost of bet = 100-0 = 100

30/45的情况，转牌blank，甲乙equity之比变为66：34，甲大占优势，bet pot 100之后，乙只能含恨call。这时乙的EV：
15/44 × (300-100) + 29/44 * (-100) = 2.27

综合起来，乙的EV是15/45 * 100 + 30/45 * 2.27 = 34.85

虽不及翻牌全进的104，但比起乙贸然出手bet的EV 4.53，已经好很多了。

所以，二人的最佳策略是翻牌上check check，转牌如果乙没听上，bet call。


情形3：深筹码，二人各有1300元


如果二人翻牌上全进，乙的EV是
56%×（New pot size） - （cost of bet）
=56%*2700 - 1300
=212

如果甲check，乙也check，那么跟情形2中等筹码最佳策略的走势完全一样，这时乙的EV是34.85。

如果甲check，乙bet 100呢？

    首先甲不能raise to 400，否则乙顺势3bet全进，取得212的EV。
    所以甲一定call。转牌的分析跟情形2中最佳策略类似，只是底锅从100变成了300。这时
        乙的EV=15/45 * (300-100) + 30/45 * （15/44 × (900-400) + 29/44 * (-400) ） = 4.55

乙在甲check后，出手bet的EV比随后check要低，所以乙一定也check，取得34.85的EV。

那么甲如果出手bet会如何？

假设甲bet，乙call。底锅300。刚才已经计算过，这时乙的EV是4.55
假设甲bet，乙raise 400。甲当然不能3bet 900 AI，否则乙就取得212的EV。
    所以甲仅仅call乙的400。现在底锅900，双方各剩余900。
     乙的EV=15/45 * (900-400) + 30/45 * （15/44 × (2700-1300) + 29/44 * (-1300) ） = -86

可见，乙raise 400非常的不明智。所以乙只能call。

同时可见，甲翻牌bet能给乙的EV就是4.55。相对于甲check翻牌给乙的EV 34.85，（因HU EV守恒，乙多甲便少）甲的最佳策略应该是bet。

双方的最佳策略应该是：翻牌bet call，转牌转牌如果乙没听上，bet call。

总结：为什么甲策略变化

浅筹码时，甲最佳策略无所谓；中筹码时check；深筹码时又成了bet。

最重要的是，甲的最大优势一点在于转牌，乙错过时，可以potsize。所以甲希望在转牌上，剩余且仅剩余一个pot size AI。但乙的最大优势是翻牌可以全进，所以乙不会给甲这个机会。甲能干的最好的，也就是翻牌剩余两次potsize，正如情形三所示。

这手牌跟现实中差距很大，现实中，首先听牌成功后仍可能榨取出价值；一对型成牌也未必敢这么嚣张的potsize。但仍能让我们思考：筹码深度到底怎样影响策略？

注释

例子摘录于bill chen《The Mathematics of Poker》，但经本人小改动且全部亲自计算过。

dengxianqi 发表于 2012-1-9 01:21
嗯？在哪订的？纸版的还是电子版的？ 班上有人有电子版的这本书吗？共享一下吧！ ...

Amazon, $20, 是纸版的.

谢谢，明白了！

liushui1967 发表于 2012-1-9 18:41
晕死！情形1、情形2翻牌全进的ev计算怎么会有不同的方法？

这两种计算方法本质是一样的。

我的方式（其实是bill chen的方式）：

EV= win% ×　(New Pot Size After Call) - (Cost of call)         。。。1）
（我自己认为，这种方式比较直观，且计算量稍微小一点）

您引用中的方式，是

EV = win% ×　(Pot Size Before Call) - lose% ×　(Cost of call)   。。。2）

其中，
New Pot Size After Call = Pot Size Before Call  + Cost of call
lose%=1-win%

将上述两式代入您的2）式，便可得到我的1）式。

使用我的方式计算您的题目，如下：

EV= win% * (New Pot) - (Cost of Call)
    = 32% * 600 - 100
    = 92

当然具体使用哪种方式是个人选择。

晕死！情形1、情形2翻牌全进的ev计算怎么会有不同的方法？

luckystar 发表于 2012-1-7 03:03
真是不错的文章。我已在网上order了一本，有空也要细读一下。

嗯？在哪订的？纸版的还是电子版的？ 班上有人有电子版的这本书吗？共享一下吧！

HOWARD太牛了
要看多2遍才知道说什么,还需要再看多2遍才能理解透彻,还要再看多2遍才能变成自己的本能,还需要再看多2遍才能自己不那么鱼...

牛文啊。这书必买

真是不错的文章。我已在网上order了一本，有空也要细读一下。

that make sense, a useful thing is that,

When your opponent is obviously on the str8 or flush draw, try not to push hard on the flop, try to push hard on the turn if blank.